Контрольная работа вариант 18

Исходные данные:

Классический метод:

Рассмотрим схему до коммутации.

Так как в цепи включён источник синусоидального напряжения, расчёт проводим символическим методом.

Реактивное сопротивление индуктивности:

Реактивное сопротивление ёмкости:

Комплексная амплитуда источника:

Комплексное сопротивление цепи относительно источника:

Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома:

Комплексную амплитуду напряжения на ёмкости определим по закону Ома:

Мгновенное значение напряжения на ёмкости запишется в виде:

Полагая в последнем выражении t=0-, получим величину напряжения на ёмкости непосредственно перед коммутацией:

По законам коммутации напряжение на ёмкости не может изменяться скачком. Следовательно,

Комплексная амплитуда тока в ветви с индуктивностью:

Мгновенное значение тока в индуктивности запишется в виде:

Полагая в последнем выражении t=0-, получим величину тока в индуктивности непосредственно перед коммутацией:

По законам коммутации ток в индуктивности не может изменяться скачком. Следовательно,

Принуждённые составляющие тока в индуктивности и напряжения на ёмкости определим по данной схеме:

Комплексное сопротивление цепи относительно источника:

Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома:

Комплексную амплитуду напряжения на ёмкости определим по закону Ома:

Мгновенное значение напряжения на ёмкости запишется в виде:

Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью

определим по правилу плеч:

Мгновенное значение тока в цепи с индуктивностью запишется в виде:

Замыкаем накоротко зажимы источника ЭДС. Разрываем ветвь с ёмкостью. Комплексное входное сопротивление относительно разрыва запишется в виде

Полагая в последнем выражении j=p, получим:

После выполнения алгебраических преобразований получим характеристическое уравнение второго порядка:

Определим дискриминант квадратного уравнения:

Найдем корни характеристического уравнения:

По виду корней характеристического уравнения записывается свободная составляющая переходного процесса. Так как число корней равно двум и они действительны, то:

Полный переходной процесс в индуктивности равен сумме принуждённой и свободной составляющих:

В последнем уравнении неизвестными являются А₁ и А₂, следовательно, для их однозначного определения необходимо второе уравнение. Получим его дифференцированием первого:

Полагая в вышеприведённых уравнениях t=0+, получим:

Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t=0+ послекоммутационной схемы:

Выразим первое выражение через третье:

Подставляя численные значения найденных ранее независимых начальных условий i₁(0+), u_c(0+) и значение e(0+)=0, получим:

Тогда уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид:

Постоянные интегрирования будут равны:

Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в виде:

Переходной процесс по напряжению по ёмкости рассчитывается аналогично. Записываем выражение для u_c(t) как сумму двух составляющих:

Принуждённая составляющая переходного процесса определена выше. Свободную составляющую ищем в виде суммы экспонент. С учётом этого:

Второе уравнение, необходимое для однозначного определения постоянных интегрирования, получим дифференцированием первого:

Полагая в обоих уравнениях t=0+, получим:

Производная напряжения на ёмкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Определим её значение по выражению:

Значение i₃(0+) определим из системы уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t=0+, записанной выше. Тогда:

Уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид:

Решая систему уравнений, определим постоянные интегрирования:

Окончательное выражение для переходного напряжения в емкости запишется в виде:

Окончательные выражения для напряжения в индуктивности и тока в емкости определим по следующим выражениям:

При построении графиков переходных процессов, прежде всего, необходимо определить их длительность. Теоретически переходные процессы длятся бесконечно долго, практически же оканчиваются за время, равное трём постоянным времени t_пп=3. За это время свободная составляющая переходного процесса будет иметь значение, составляющее 5% от значения при t=0+.

Постоянная времени определяется как величина, обратная минимальному по модулю корню характеристического уравнения:

Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой задачи:

Построим графики переходных процессов:

Ток в индуктивности:

Напряжение в ёмкости:

Напряжение в индуктивности:

Ток в ёмкости: