Опорный конспект лекций / Опорный конспект к лекции №6

Монотонные последовательности

Характеристическое свойство

Обозначение

Возрастающая (неубывающая)

Строго возрастающая

Убывающая (невозрастающая)

Строго убывающая

Теорема о существовании предела монотонной последовательности

1. Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный ()

2. Если последовательность монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то ()

Критерий сходимости монотонной последовательности

Монотонная последовательность ограничена тогда и только тогда, когда она сходится

_Т

Если последовательность сходится и ее предел равен , то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел

_С

Если две подпоследовательности одной и той же последовательности сходятся к различным пределам, то не существует

Лемма Больцано – Вейерштрасса

1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу.

2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность

Признак сходимости Больцано – Коши

Для того чтобы у последовательности существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы