Опорный конспект лекций / Опорный конспект к лекции №5

Название

Определение

Бесконечно малая последовательность

Бесконечно большая последовательность

№

Свойство

Обозначение

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность

Бесконечно малая последовательность ограничена

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность

Если – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера , определена последовательность , и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если – бесконечно малая последовательность и все , то есть бесконечно большая последовательность

Если и – бесконечно большие последовательности, причем , то

Если и – бесконечно большие последовательности, причем , то

Если – бесконечно большая последовательность, причем а – сходящаяся последовательность, причем , то

Если и – бесконечно большие последовательности, то

Если – бесконечно большая последовательность, а – сходящаяся последовательность, причем , то

№

Свойство

Если последовательность имеет предел, то он всегда определен единственным образом

Если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной

Для того чтобы последовательность была сходящейся и необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство где – бесконечно малая последовательность

Сходящаяся последовательность ограничена

Если , причем , то, начиная с некоторого номера ,

(Предельный переход в неравенстве) Если и, начиная с некоторого номера , , то

(Лемма о сжатой переменной) Если и, начиная с некоторого номера , , то

Если , то

Если , то

1. ,

2. ,

3.