Опорный конспект
по теме «Бином Ньютона. Метод математической индукции.
Элементы математической логики и теории множеств. Грани числовых множеств»
Формула бинома Ньютона
где
– биномиальные
коэффициенты
Свойства формулы бинома Ньютона:
-
в разложении двучлена
по формуле
Ньютона содержится
член; -
в разложении
показатель степени
убывает от
до
,
а показатель степени
возрастает от
до
; -
сумма показателей степеней
и
в каждом члене равна
; -
биномиальные коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны между собой.
Треугольник Паскаля
Числа
в строке с определенным номером
,
,
являются последовательными коэффициентами
в формуле для данного
.
Показатель степени
Метод математической индукции
Доказательство
истинности утверждения
при всех значениях натуральной переменной
методом
математической индукции:
-
непосредственной проверкой убедиться в истинности
; -
допустить, что
истинно
для любого
; -
доказать, что
истинно
для всех
,
.
Основные понятия математической логики
|
Понятие |
Определение |
|
Высказывание |
повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, что его содержание истинно (1) или ложно (0) в данных условиях места и времени |
|
Элементарное высказывание |
высказывание, представляющее собой одно утверждение, нерасчленимое на более простые высказывания без потери его смысловой нагрузки |
|
Составное высказывание |
высказывание, которое можно расчленить на элементарные высказывания |
|
Предикат |
неопределенное
высказывание, т.е. предложение
|
|
Тавтология |
составное высказывание, истинное при любых предположениях о входящих в него элементарных высказываниях |
,
которое при каждом конкретном
превращается
в некоторое высказывание
Логические операции над высказываниями
|
Название |
Определение |
Обозначение |
Чтение |
|
Отрицание |
логическая
операция, которая утверждает, что
высказывание
|
|
не
|
|
Двойное отрицание |
утверждение
о том, что высказывание
|
|
не
|
|
Импликация |
высказывание,
которое считается ложным, если
|
|
из
|
|
Эквиваленция |
высказывание
« |
|
|
|
Конъюнкция (логическое и, логическое умножение) |
одновременное
выполнение двух свойств
|
|
|
|
Дизъюнкция (логическое или, логическое сложение) |
высказывание,
когда либо имеет место
|
|
|
не выполняется
не выполняется
истинно, а
–
ложно, и истинным во всех остальных
случаях
следует
тогда и только тогда, когда
»
равносильно
и
или
&
и
(но не
),
либо имеет место
(но не
),
либо имеют место
и
одновременно
или
Таблица истинности алгебраических операций над высказываниями
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
