Добавил:

inrad Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Опорный конспект лекций / Опорный конспект к лекции №4

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2014

Размер:

166.51 Кб

Скачать

☆

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ

по теме «Основная теорема алгебры.

Разложение многочлена на множители.

Предел числовой последовательности»

Многочлены

Название	Определение
Многочлен (полином) -й степени от переменной	выражение вида
Коэффициенты многочлена	числа
Старший коэффициент	число
Свободный член многочлена	число
Одночлен	слагаемое вида
Приведенный многочлен	многочлен, у которого
Многочлен нулевой степени	многочлен вида , который представляет собой число
Равные многочлены	многочлены, у которых равны все их коэффициенты при соответствующих степенях переменной х
Корень многочлена	число , для которого
Корень кратности многочлена	число , для которого и

Операции над многочленами

Пусть ,

Операция	Суть операции
Умножение многочлена на число
Сложение многочленов
Умножение многочленов	каждый член одного многочлена умножают на каждый член второго многочлена, полученные результаты складывают и приводят подобные
Деление многочленов	если степень делителя меньше или равна степени делимого, деление выполняется по правилу «деления углом»: где – частное, представляющее собой многочлен, – остаток, причем степень остатка меньше степени делителя

_{Многочлен} делится нацело на если остаток равен нулю, т.е.

Теорема Безу
_Т-2	Остаток от деления многочлена на , где , равен значению многочлена в точке , т.е.

Следствие из теоремы Безу
_С-1	Число х₀ является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится нацело на

Основная теорема алгебры
_Т-3	Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень

Следствие из основной теоремы алгебры
_С-2	Любой многочлен -й степени может быть представлен в виде разложения на множители: , где , т.е. имеет корней

Разложение многочлена на множители

Разложение на множители многочлена с действительными коэффициентами имеет вид:

где ; – корни многочлена кратности соответственно; , причем

Квадратные трехчлены не имеют действительных корней и соответствуют паре комплексно сопряженных корней некоторой кратности.

_Т-4	Если является корнем многочлена -й степени с действительными коэффициентами, то также является корнем этого многочлена

_Т-5	Пусть – приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Если он имеет целые корни, то они содержатся среди целых делителей свободного члена

Понятие числовой последовательности

Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента которая каждому натуральному числу ставит в соответствие число , причем называют -м членом (общим членом) последовательности, а формулу –формулой общего члена последовательности

Виды числовых последовательностей

Название последовательности	Определение
Ограниченная сверху последовательность
Ограниченная снизу последовательность
Ограниченная последовательность	последовательность, одновременно ограниченная и снизу, и сверху, т.е.

Действия над числовыми последовательностями

Умножение последовательности на число:

Сложение и вычитание последовательностей:

Умножение последовательностей:

Деление последовательностей:

, .

Предел числовой последовательности

Название	Определение	Обозначение
Предел последовательности	Число называется пределом последовательности при , если	или
Сходящаяся последовательность	Последовательность называется сходящейся, если число конечное
Расходящаяся последовательность	Последовательность называется расходящейся, если или предел не существует