33. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

1) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

= [поменяем местами первую и вторую строки]= = [складываем вторую строку и третью, умножаем первую на -5 и складываем со второй ] == [умножаем третью строку на 13, вторую на -6 и складываем их] =

Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:

.

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.

Тогда получим систему:

Тогда получим решение:

x₃ = 8; x₂ = 1; x₁ =4.

2) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = , X = , B = .

Тогда X = A^-1B.

Вычислим обратную матрицу .

Тогда A^-1 =

Получим X = A^-1B == = .

43. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

= [умножаем первую строчку на -5 складываем со второй, умножаем первую на 2 и складываем с третьей] = = [ складываем вторую строку с третьей] =.

Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:

.

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.

Тогда получим систему:

Пусть х₄=t, тогда получим решение:

х₄=t, x₃ = 0; x₂ =;x₁ = .

53. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матриц.

Характеристическое уравнение имеет вид:

₁=-1, ₂=1, ₃=9 – собственные значения линейного преобразования.

Для ₁=-1 найдём собственный вектор.

Собственный вектор для ₁=-1 имеет вид (0;0;0).

Для ₂=1 найдём собственный вектор.

Собственный вектор для ₂=1 имеет вид (6t;-t;t).

Для ₃=9 найдём собственный вектор.

.

Собственный вектор для ₃=9 имеет вид (;m;s).

63. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм

Запишем данное уравнение в виде:

Найдём матрицу Т ортогонального оператора, приводящего данную квадратичную форму к каноническому виду.

Запишем характеристическую матрицу:

Её корнями являются значения ₁=1, ₂=7.

Для ₁=1 найдём собственный вектор.

, где t – любое число.

Собственный вектор-столбец для ₁=1 имеет вид . Тогдаесть нормированный собственный вектор-столбец.

Для ₂=7 найдём собственный вектор.

, где s – любое число.

Собственный вектор-столбец для ₂=7 имеет вид . Тогда есть нормированный собственный вектор-столбец.

Ортогональный оператор, приводящий квадратичную форму к каноническому виду, имеет матрицу .

Базисными векторами новой системы координат являются:

В системе координат уравнение данной фигуры примет вид:

Это эллипс, центр которого находится в точке (0,0) относительно системы координат , а оси симметрии параллельны координатным осям этой системы.