КР №3 высшая математика 1 курс

Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий

Специальность_________________________________

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

По курсу_____________________________________

Вариант №_____

Студент-заочник___ курса

Группы №______________

ФИО __________________

_______________________

Адрес__________________

_______________________

Тел. ___________________

Минск, 2010

Таблица ответов к задачам контрольной работы

Задача 1	Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 7	Задача 8
Задача 9	Задача 10

Задача №1.

Написать (а) уравнение касательной плоскости и нормали в точке () к поверхности S, заданной уравнением ; Вычислить (б) grad(z) в точке и (в) производную функции в точке по направлению вектора .

Решение:

а) Найдем уравнение касательной плоскости и нормали в точке к поверхности S по формулам:

Найдем частные производные функции и их значения в точке

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид:

б) Найдем grad z в точке по формуле:

Получим:

в) Найдем производную функции z в точке M₀ по направлению вектора по формуле:

Задача №2.

Вычислить (а) двойной интеграл по облачти D, ограниченной

Вычислить (б) объем тела, ограниченного поверхностями:

Решение:

а)

Найдем координаты точек пересечения кривых

Сделаем чертеж области интегрирования Д:

y

1

0

Пределы интегрирования примут вид:

Перейдем от двойного интеграла к двукратному по и вычислим его:

б) Сделаем чертеж тела, ограниченного указанными поверхностями:

1

Z=0

1

0

2

x

y

z

1

Вычислим объем тела при помощи тройного интеграла в цилиндрических координатах:

Проекция тела на плоскость имеет вид:

Пределы интегрирования имеют вид:

Получим:

Задача №3.

Применяя формулу Тейлора для функции нескольких переменных вычислить значение 1,002*2,003²*3,004³. Использовать члены разложения до второго порядка включительно.

Решение:

Рассмотрим функцию переменных:

Воспользуемся формулой Тейлора для функции переменных 2го порядка для приближенного нахождения значения функции при:

Тогда:

Задача №4.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции

.

Решение:

Д: .

Сделаем чертеж области Д:

Найдем частные производные 1го порядка функции

Найдем стационарные точки функции:

- стационарная точка,

Исследуем функцию

1. AB:

2. BC:

3. CD:

4. AD:

Так как функция может принимать наибольшее и наименьшее значения в области Д либо в стационарных точках внутри области Д, либо на ее границе, то выберем наибольшее и наименьшее значения функции среди найденных:

Задача №5.

Для уравнеия . (За принять корень с положительной мнимой частью.) Для них вычислить:

1. ,

2. 

,

3. все значения .

Решение:

1. 

2. 

3. 

Воспользуемся формулой:

Задача №6.

Рассчитать интеграл от функции комплексного переменного по пути как криволинейный. Результат проверить с помощью интегральной формулы Коши или подсчета суммы вычетов.

Решение:

1 способ

2 способ

- полюс первого порядка;

Задача №7.

Поверхность задана параметризацией Найти на этой поверхности точки, в которых касательная плоскость параллельна плоскости . В ответ записать уравнения касательных плоскостей в этих точках.

Решение:

Перейдем к новым координатам

,

.

В новых координатах плоскость будет иметь вид

.

А радиус вектор поверхности:

.

Нетрудно видеть, что в новых координатах мы получаем единичную сферу, неявное уравнение которой имеет вид

.

Нормаль к сфере имеет вид:

.

С учетом того, что , уравнение единичной нормали будет иметь вид:

.

Для того, чтобы касательная плоскость к поверхности была параллельна заданной плоскости, очевидно необходимо, что был коллинеарен вектору .

Таким образом, получим:

, , .

Эти значения определяют одновременно и компоненты нормали к сфере, и точки на сфере в которых выполняется требуемое условие.

Т.е. существует две касательные плоскости, параллельные данной (это понятно и из геометрических соображений). Уравнения этих плоскостей легко найти, зная их нормали, и точки через которые они проходят:

.

Или, возвращаясь к старым координатам

.

Задача №8.

Найти общее решение дифференциальных уравнений

(а) (б) .

Решение:

(а)

Это дифференциальное уравнение 2го порядка, не содержащее явным образом искомой функции

Пусть

Уравнение примет вид:

Разделяя переменные и интегрируя обе части уравнения, получим:

Учитывая, что получим:

Разделяя переменные и интегрируя обе части уравнения, получим:

- общее решение искомого уравнения.

б)

Это дифференциальное уравнение 2го порядка, не содержащее независимой переменной .

Пусть

Уравнение примет вид:

Разделяя переменные и интегрируя обе части уравнения, получим:

Представим дробь в виде суммы простейших дробей:

Тогда:

Учитывая, что получим:

Разделяя переменные и интегрируя обе части уравнения, получим:

Задача №9.

Найти частное решение дифференциального уравнения

, удовлетворяющее условиям:

Решение:

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его общее решение найдем по формуле:

Где – общеерешение однородного уравнения,

- частное решение неоднородного уравнения.

Составим характеристическое уравнение:

Тогда:

Будем искать в виде:

Подставим

Тогда:

Общее решение имеет вид:

Найдем

Воспользуемся данными начальными условиями:

Тогда частное решение примет вид:

Или

Задача №10.

С помощью характеристического уравнения найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Представить данную систему и ее решение в матричном виде.

Решение:

Запишем систему в матричной форме:

Будем искать частное решение в виде

Составим характеристическое уравнеие матрицы системы:

Находим из системы уравнений:

При получим

Пусть , тогда

Таким образом, характеристическому числу соответствует частное решение

При получим:

Пусть , тогда

Характеристическому числу соответствует частное решение:

Общее решение системы находим как линейную комбинацию полученных частных решений, т.е.:

Или в матричной форме: