К.р. №1. 9 вариант

Задача 9.

Даны четыре вектора , , , в векторном базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Вычисляем:

Следовательно, векторы , , образуют базис, и вектор линейно выражается через базисные векторы:

Или в координатной форме:

Решим полученную систему при помощи формул Крамера:

=

; ;

Поэтому

Ответ:

Задача 19.

Даны координаты вершин пирамиды A₁A₂A₃A₄. Найти: 1) длину ребра A₁A₂; 2) угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₄; 3) угол между ребром A₁A₄ и гранью A₁A₂A₃; 4) площадь грани A₁A₂A₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой A₁A₂; 7) уравнение плоскости A₁A₂A₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃. Сделать чертеж.

Координаты вершин пирамиды: A₁ (7; 5; 3), A₂ (9; 4; 4), A₃ (4; 5; 7), A₄ (7; 9; 6).

1) Длину ребра A₁A₂ находим по формуле расстояния между двумя точками:

2) Угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₄ найдем как угол между векторами и

Косинус угла между векторами

3) Угол между ребром и гранью определим вычислив координаты нормального вектора плоскости A₁A₂A₃. Он будет равен векторному произведению векторов и

;

Векторное произведение

Нормальный вектор

Синус угла

Угол равен

4) Площадь грани A₁A₂A₃ равна половине векторного произведения

5) Объем пирамиды равен шестой части смешанного произведения векторов , , .

; ;

Смешанное произведение:

Объем пирамиды:

6) Уравнение прямой A₁A₂

Направляющим вектором прямой является , кроме того прямая проходит через точку A₁ (7; 5; 3).

Уравнение прямой:

7) Уравнение плоскости A₁A₂A₃

Нормальный вектор плоскости , кроме того плоскость проходит через точку A₁ (7; 5; 3).

Уравнение плоскости:

- уравнение плоскости A₁A₂A₃.

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃

Нормальный вектор A₁A₂A₃ является направляющим вектором искомой высоты, кроме того высота проходит через точку A₄ (7; 9; 6).

Уравнение высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃:

Чертеж:

Задача 29.

Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки A(4; 0) вдвое дальше, чем от прямой x=1.

Пусть искомой линии принадлежит точка M(x; y).

Тогда расстояние от точки M до точки A(4; 0) будет

Расстояние от точки M до прямой x=1

По условию откуда получим уравнение

После преобразований получим

Ответ:

Задача 39.

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:

Совместность матрицы докажем по теореме Кронекера-Капелли.

Найдем ранг матрицы данной системы А и ранг расширенной матрицы В.

;

Из второй строки вычитаем первую умноженную на 2 и из третьей строки вычитаем первую умноженную на 3. Затем вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 4/7.

Следовательно , значит исходная система совместна и имеет единственное решение.

1) решим систему методом Гаусса.

Составим систему

Результат , , .

2) решим систему средствами матричного исчисления.

Решение средствами матричного исчисления имеет вид .

Сначала найдем обратную матрицу:

; ;

; ; ;

; ; .

Следовательно, , , .

Ответ: , , .

Задача 49.

Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

Сначала найдем ранг матрицы системы путем преобразований:

Поменяем местами первую строку с третьей, затем вычтем из второй строки первую, умноженную на три, и из третьей первую умноженную на семь. Потом вычтем из третьей строки вторую, умноженную на два.

Ранг матрицы равен r=2. Количество неизвестных n=4. Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений матрицы равна n-r=4-2=2.

Преобразованная система уравнений:

Эти формулы дают общее решение, т.к. придавая x₃ и x₄ произвольные значения, получим x₁ и x₂. Запишем решение в виде вектора-столбца и разложим его по фундаментальной системе решений

Полагаем x₃=C₁ и x₄=C₂ где C₁ и C₂ произвольные постоянные, получаем общее решение в виде , где

образуют базис пространства решений.

Ответ: размерность пространства решений матрицы равна n-r=2;

базис пространства решений .

Задача 59.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Характеристическое уравнение матриц имеет вид откуда характеристическое уравнение данной матрицы имеет вид

Получаем собственные значения , .

При получаем систему

При x₁=1 получаем собственный вектор

При получаем систему

При x₃=1 получаем собственные векторы

Ответ: собственные значения , ;

собственные векторы , .

Задача 79.

Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм: .

Матрица квадратичной формы имеет вид

Решим характеристическое уравнение :

Собственные значения матрицы А

Найдем собственные векторы из системы

Для

;

Для

;

Нормируем собственные векторы

;

Составим матрицу перехода от одного базиса к новому

и выполним преобразование

Из исходного уравнения кривой получим

После преобразований получим

Приведем уравнение к каноническому виду

– каноническое уравнение элипса с полуосями ;

Ответ:

16