Контрольная работа №6 вариант 6
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Контрольная работа № 6
№ 265
Вычислить криволинейный интеграл C xdy ydx вдоль треугольника с вершинами A(-2;0),B(2;0),D(0;2), обходя его против хода часовой стрелки.
Составим уравнение прямых AB, BD, DA. DA:
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y
2 D
-2 A 0 |
2 B |
x |
AB:
y 0 dy 0
AB xdy ydx 0
BD:
y x 2 dy dx |
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BD xdy ydx 0 |
( x x 2)dx 0 |
2dx 2x |
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02 |
0 4 4 |
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y x 2 dy dx |
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DA xdy ydx |
(x x 2)dx 2dx 2x |
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Значит
C xdy ydx 0 4 4 8
№ 275
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и его проекцию на плоскость xOy изобразить на чертежах:
z 0;z 2 x;y 2
x;y 14 x2
Изобразим тело и его проекцию на плоскость xOy:
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1 x2 )dx |
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V dxdydz dx |
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dy |
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dz dx |
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(2 x)dy (2 x) (2 |
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x |
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V |
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№ 285 |
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Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах |
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площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых |
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координатах. Параметр а положителен. |
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Перейдем к полярным координатам: |
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sin4 asin2 |
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№ 295
Даны векторное поле F и плоскостьP: Ax By Cz 0, которая
совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Требуется вычислить:
1)поток векторного поля F через часть плоскости P, ограниченной координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости P, которая образует с осью Oz острый угол;
2)поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности.
Сделать чертеж.
F (2x 3y 3z)j;(p):2x 3y 2z 6 0 3x 2y 3z 1 z 3 32 y x
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2 (9 2 9 27) 36
№ 295
Проверить, будет ли поле вектора F : а) потенциальным; б) соленоидальным? В случае потенциальности поля найти его потенциал
U(x, y,z):
F (2x 3yz)i (2y 3xz)j (2z 3xy)k
а) Найдем ротор данного поля:
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i |
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j |
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k |
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rotF |
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i |
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(2z 3x) |
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(2y 3xz) |
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x |
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y |
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z |
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y |
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z |
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2x 3yz |
2y 3xz |
2z 3xy |
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j x(2z 3xy) z (2x 3yz) k x(2y 3xz) y(2x 3yz) i( 3x 3x)
j( 3y 3y) k( 3z 3z) 0
Значит поле потенциальное.
Найдем потенциал поля F :
U(x,y,z) Fxdx Fydy Fzdz ;M0 (0,0,0)
MM0 |
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x |
y |
z |
x |
y |
U(x,y,z) Fx (x,0,0)dx Fy (x,y,0)dy Fz (x,y,z)dz 2xdx 2ydy |
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0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
z (2z 3xy)dz x2 y2 |
z2 |
3xyz C |
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0 |
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б) divF Fx Fy Fz 2 2 2 6 0x y z
Значит поле F не соленоидальное.