Контрольная по ВМ №10, вариант 5

485. Представить заданную функцию w=f (z), где z = x + iy, в виде w = u(x,y) + iv(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в заданной точке z₀.

, .

Решение:

Определим действительную и мнимую части заданной функции:

;

; .

Найдем частные производные этих функций:

; ;

; .

, при всех значениях х и у, следовательно, функция

является дифференцируемой и аналитической на всей комплексной

плоскости z.

;

.

495. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z - z₀ .

, .

Решение:

Функция имеет две особые точки

.

Центр разложения

.

Расстояния до особых точек

;

.

Разложим дробь на элементарные:

;

;

.

1-й случай (внутри круга):

2-й случай (внутри кольца):

3-й случай (на бесконечности):

505. Определить область (круг) сходимости данного ряда и исследовать сходимость его

(расходится, сходится условно, сходится абсолютно) в точках z₁, z₂ , z₃ .

, , , .

Решение:

Для данного степенного ряда . Тогда .

.

Область сходимости ряда определяется неравенством , которое выражает

внутренность круга с центром в точке радиусом 2. Очевидно, точка

лежит внутри круга сходимости. Поэтому ряд в точке сходится

абсолютно. Точка лежит вне круга сходимости. Ряд в точке

расходится. Исследуем сходимость ряда в точке , которая лежит на

границе круга сходимости. Положив , получим числовой ряд

.

Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость:

. Он является расходящимся.

Определим, является ли ряд условно сходящимся.

.

Действительная и мнимая части этого ряда являются сходящимися рядами по

признаку Лейбница.

Таким образом, ряд в точке сходится условно.

515. При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру l.

, .

Решение:

Функция внутри контура интегрирования имеет особые точки:

- полюс первого порядка; - полюс второго порядка.

;