КР 1-2 Высшая математика
.docА2(1; -1; 0):
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»
Институт информационных технологий
Специальность: Информационные системы и технологии в экономике. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
По курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Студент-заочник 1 курса
Группы № 282322
№ зачётки: 25
ФИО:
Иванов Иван Иванович
Адрес:
Тел. моб: Проверил:
Минск, 2012
Задание 65
Найти пределы последовательностей:
а)
б)
в)
Решение:
а) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:
Разделим в первом пределе числитель и знаменатель на n, а во втором – на n2:
б) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:
Разделим числитель и знаменатель на n2:
в) Здесь имеет место неопределенность вида . Преобразуем выражение и воспользуемся вторым замечательным пределом :
Ответ: а) 0; б) ; в) е - 4
Задание 75
Найти производную заданных функций:
а) б)
Решение:
а) =
=
Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций
(vn)' = n vn - 1 v ', где v = , в одном случае и v = - в другом случае. Получаем:
Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций
(arcsin u)′ = , где u =.
Получим
б)
Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций
, где .
Получим
Ответ: а) ; б)
Задание 85
Найти предел функции :
1) не пользуясь правилом Лопиталя;
2) используя правило Лопиталя.
Решение:
-
При непосредственной подстановке в выражение значения x = 1 получаем неопределенность. Чтобы избавиться от нее, введем замену переменной:
х - π = t, x = π + t, t 0 при х π.
Тогда
При t 0 имеем бесконечно малые величины sin 3t и , которые заменим эквивалентными им величинами: sin 3t ~ 3t, ~ :
-
Так как имеем неопределенность, воспользуемся правилом Лопиталя:
Опять получили неопределенность , поэтому повторно воспользуемся правилом Лопиталя:
Ответ: 18
Задание 95
Дана функция .
1) вычислить все частные производные первого порядка;
2) найти производную в точке М0 (1; 1; 1) по направлению вектора
;
3) найти
Решение:
1) Находим частные производные функции u= u(x,у):
2) Находим производную по направлению вектора :
Находим направляющие косинусы вектора :
cosα =
cosβ =
cosγ =
Находим значения частных производных в точке М0:
Находим производную по направлению вектора в точке М0 (1; 1; 1):
3) Находим градиент
Ответ: 1)
2) 0; 3) ;
Задание 105
Дана функция
Вычислить значение ее частной производной четвертого порядка в точке
Решение
Найдем частные производные:
Вычислим значение производной в точке :
Ответ: 54
Задание 115
Найти неопределенные интегралы:
а) б) в) г)
Решение:
а)
Преобразуем подинтегральное выражение
Сделаем замену переменной: t = , dt = .
=
Вернемся к переменной х:
б)
Найдем искомый интеграл методом замены переменной. Введем новую переменную t = sin3x. Тогда dt = 3cos3x dx, cos3x dx = dt/3.
Имеем
Вернемся к переменной х:
в)
Применим метод интегрирования по частям, для чего воспользуемся формулой:
Положим u = =3х2 + х
Тогда = (3х2 + х ) =6x + 1; du = (6x + 1)dх
Повторным интегрированием по частям найдем интеграл .
х = u, du = dx
Тогда искомый интеграл
г)
Преобразуем подинтегральное выражение:
Вернемся к переменной х:
Ответ:а); б)
в) ;
г)