К.р. №2 20 вариант

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра программного обеспечения информационных технологий

Факультет ФНиДО

Специальность ПОИТ

Контрольная работа № 2

по дисциплине «Высшая математика»

Вариант № 10

Выполнил студент: Ткаченко Дмитрий

группа 191003

Зачетная книжка 191003-20

Минск 2011

1. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя способами:

а) по формулам Крамера

б) методом Гаусса

в) средствами матричного исчисления

а) ∆= = 4(-10+18)+3(-4+15)+2(12-25)=32+33-26=39≠0

∆₁= = 8(-10+18)+3(-22+39)+2(66-65)=64+51+2=117

∆₂= = 4(-22+39)-8(-4+15) +2(26-55) =68-88-58=-78

∆₃ = = 4(65-66)+3(26-55)+8(12-25) =-4-87-104=-195

x₁===3; x₂= = = -2; x₃ = = = -5

x₁=3; x₂=-2; x₃=-5

б) А=

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-ую строку на (-4). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Из 1-ой строки выражаем x₃

Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

в) А= B=

=

X=· B= · =

Ответ: 3; -2; -5

2. Найти общее решение системы линейных уравнений

Сформируем расширенную матрицу

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на а_2,1=2

Вычитаемая строка

Модифицированная матрица

Вычтем из строки 3 строку 1 у множенную на а_3,1=1

Вычитаемая строка

Модифицированная матрица

Вычтем из строки 3 строку 2 у множенную на а_3,2=1

Вычитаемая строка

Модифицированная матрица

Заданная система уравнений не имеет решений (противоречива), т.к. 3-я строка приводит нас к уравнению: 0=1, что невозможно.

3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

P_n (λ) =

P_n (λ) = - λ³+7 λ-6

- λ³+7 λ-6=0 или λ³-7 λ+6=0

λ³-7 λ+6=( λ-2)( λ-1)( λ+3)=0

λ₁=-2; λ₂=-1; λ₃=3.

(4- λ)x₁+7x₂+x₃=0

-x₁+(-4-λ)x₂-x₃=0

-3x₁-x₂-(0-λ)x₃=0

λ₁=-2

(A-λE)X=0

~ ~

x=

λ₂=-1

(A-λE)X=0

~ ~

x=

λ₃=3

(A-λE)X=0

~ ~

x=

4. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат.

3x²+3y²-4xy+4x+4y+1=0

f(x,y)=3x²-4xy+3y²; A=

f₁(x’,y’)= λ₁x’²+ λ₂y’²; C=

= 0

()²-4=0

λ²-6λ+5=0

D=(-6)²-4·1·5= =4; λ_1,2=

λ₁=1; λ₂=5 – корни характеристического уравнения матрицы А

x'²+5y’²+4x’+4y’+1=0

(x’²+2·2x+4)-4+5(y’²+ · 2y+) - +1=0

(x’+2)²+5(y’+)² = 4+ -1;

(x’+2)²+5(y’+)² =

+ = 1 – уравнение эллипса

Центр (-2; )

Малая полуось b

Большая полуось а

a≈1.9

b≈0.25