Контрольная работа №2

ВАРИАНТ №3

Контрольная работа №2

Задание 1,2 – я решал и уверен, что решил неверно.

Задание 3

Даны два линейных преобразования. Средствами исчисления найти преобразование, выражающие через

Решение:

Первое линейное преобразование

имеет матрицу ,

а второе

имеет матрицу .

Тогда произведение линейных преобразований имеет матрицу C=B▪A

C=B▪A=

Поэтому искомое линейное преобразование имеет вид

Задание 4.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Составляем характеристическое уравнение матрицы

P_n(λ)= = (-1- λ)((4- λ)(6- λ)-3▪5)+2(0▪(6- λ)-3▪0)+12(0▪5-(4- λ)▪0)=

=(-1- λ)(24-4λ-6λ+ λ²-15)=(-1- λ)( λ²-10λ+9)=0

-1- λ=0 λ²-10 λ+9=0

λ₁=-1 D=b²-4ac=100-4▪9=64

λ₂== =1

λ₃===9

собственные значения данной матрицы λ₁=-1, λ₂=1, λ₃=9.

Для λ₁=-1 система имеет вид

(-1+1)x₁-5x₂+12x₃=0

(4+1)x₂+3x₃=0

5x₂+(6+1)x₃=0

-5x₂+12x₃=0

5x₂+3x₃=0

5x₂+7x₃=0

Для λ₂=-1 система имеет вид

(-1-1)x₁-5x₂+12x₃=0

(4-1)x₂+3x₃=0

5x₂+(6-1)x₃=0

-2x₁-5x₂+12x₃=0

3x₂+3x₃=0

5x₂+5x₃=0

x₂=-x₃

-2x₁+5x₃+12x₃=0

x₁=x₃

Полагая x₃=1 получаем собственный вектор

Для λ₃=9

(-1-9)x₁-5x₂+12x₃=0

(4-9)x₂+3x₃=0

5x₂+(6-9)x₃=0

-10x₁-5x₂+12x₃=0

-5x₂+3x₃=0

5x₂-5x₃=0

x₂=x₃

-10x₁-5x₃+12x₃=0

x₁=x₃

Полагая x₃=1 получая собственный вектор

Задание 5.

Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм. 6x²+2xy+2y²=21

Решение.

Поскольку в данном случае a₁₁=6 , a₁₂=a₂₁= , a₂₂=2 , то матрица A этой квадратичной формы

A= , =0

Решаем характеристическое уравнение

(6-λ)(2-λ)-5=0

12-6λ-2λ+λ²-5=0

λ²-8λ-7=0

Корни λ₁=1, λ₂=7

Для λ₁=1 найдём собственный вектор, составим систему ур-ний

(6-1)x₁+x₂=0

x₁+(2-1)x₂=0

5x₁+x₂=0

x₁+x₂=0

x₁=

и для λ₂=7

(6-7)x₁+x₂=0

x₁+(2-7)x₂=0

-x₁+x₂=0

x₁-5x₂=0

x₁=x₂

Находим собственные векторы :

; где x₂0 ;

положив x₂=, получим

;

нормируем собственные векторы

,

Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому

T=, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам.

Выполняя преобразования

= T=+

x= , y=

Значения x и y подставляем в исходное ур-ние и получаем :

это каноническое ур-ние эллипса.