КР №2 высшая математика 1 курс

Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий

Специальность_________________________________

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

По курсу_____________________________________

Вариант №_____

Студент-заочник___ курса

Группы №______________

ФИО __________________

_______________________

Адрес__________________

_______________________

Тел. ___________________

Минск, 2009

Таблица ответов к задачам контрольной работы

Задача №1 1) 0; 2) 3) 4) 0; 5) 0; 6)

Задача №2 5) 12;

Задача №3

Задача №4 неравенство является справедливым.

Задача №5 ; Функция ни чётная, ни нечётная, ни переодическая; ; убывает при возрастает при ; выпукла при вогнута при; Вертикальных асимптот нет, наклонной асимптоты справа нет, .

Задача №6

Задача №7

Задача №8

Задача №9

Задача №10

Задача №1.

Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6)

Решение:

При x = 1 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, имеем неопределённость вида , чтобы раскрыть эту неопределённость предварительно преобразуем дробь:

Переходим к пределу:

Разделим числитель и знаменатель дроби на :

Домножим числитель и знаменатель на выражение :

Упростим выражение, используя замену бесконечно малых функций соответствующими эквивалентами

Можно заметить, что основание степени стремится к  , так что получается формально  . Это выражение не является неопределённостью (в отличие от выражения ), так как основание степени при достаточно больших  близко к    (и заведомо меньше, скажем,  ) и при возведении в неограниченно увеличивающуюся степень  будет меньше   и, следовательно, будет стремиться к 0. 

Приведём этот предел к виду 2го замечательного предела

()

Произведём замену: ;

;

Задача №2.

Вычислить: 1-3) производную ; 4) производные и ; 5) () в данной точке ; 6) производную n-го порядка данной функции y(x).

1) 2)

3) ; 4)

5) ; 6)

Решение:

2)

4)

6)

Сперва найдём производные: 1ю, 2ю, 3ю и 4ю данной функции.

Исходя из полученых производных, составим формулу производной данной функции n-го порядка.

Задача №3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формле Лагранжа вычислить значение с точностью до 0,001.

Решение:

Воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции :

значит

Будем производить вычисления с одним запасным знаком:

При имеем:

;

Задача №4.

Проверить справедливость неравенства с помощью исследования на экстремум.

Решение:

Рассмотрим функцию и найдём её наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

Найдём :

Найдём критические точки нашей функции:

Вычислим значения функции в критических точках и на точках, являющихся концами отрезка:

Значит,

max:

min:

Исходя из этого можно сделать вывод, что неравенство является справедливым.

Задача №5.

Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение:

Имеем функцию .

Произведём её поэтапное исследование с последующим построением графика.

1) Область определения:

2) :

, .

Функция ни чётная, ни нечётная, ни переодическая.

3) Точки пересечения с осями координат:

с ;

с .

4) Промежутки монотонности и экстремумы функции:

при

min

убывает на промежутке

возрастает на промежутке.

5) Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба:

Найдём их с помощью 2й производной.

выпукла на промежутке

вогнута на промежутке.

является точкой перегиба.

.

6) Асимптоты графика функции:

Наша функция не имеет вертикальных асимптот, поскольку отсутствуют точки разрыва функции ().

Найдём наклонную асимптоту

Наклонной асимптоты справа нет.

Наклоная асимптота слева:

Прямая является горизонтальной асимптотой слева.

7) Построим график функции :

y

x

y = 0

-2

-1

0

Задача №6.

Требуется изготовить открытый цилиндрический бак вместимостью V. стоимость одного квадратного метра материала из которого изготавливается дно бака, составляет a рублей, а стоимость одного квадратного метра материала, идущего на стенки бака, - b рублей. При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты на материалы будут минимальными?

Решение:

Пусть R – радиус основания бака,

H

R

Н – его высота. Площадь основания

находится по формуле:

Площадь боковой поверхности

цилиндра находится по формуле:

Стоимость материалов на изготов-

ление бака тогда составит:

Так как объём цилиндра равен

Получим

Произведём исследование функции W(R) на минимум:

:

:

При переходе через критческую точку производная

меняет знак с «» на «», следовательно, данная точка является точкой минимума функции .

Отношение радиуса дна к высоте бака будет равно:

При данном отношении стоимость материалов, идущих на изготовления бака, будет минимальной.

Задача №7.

Найти неопределённые интегралы, в пунктах 1 и 2 результат проверить дифференыированием.

Решение:

Проверка:

{Интегрируем по частям}

Проверка:

Задача №8.

Вычислить определённые интегралы:

Решение:

Сделаем подстановку:

тогда

Изменим пределы интегрирования:

Сделаем подстановку:

Изменим пределы интегрирования:

Задача №9.

Вычислить приближённое значение

по методу:

1) прямоугольников;

2) Симпсона, разбивая промежуток интегрирования на 10 частей.

Все вычисления производить с точностью до трёх десятичных знаков после запятой.

Решение:

1) Рассмотрим функцию Вычислим приближённое значение определённого интеграла по методу прямоугольников:

Вычислим значения функции при

Таким образом,

2) Вычислим приближённое значение определённого интеграла по формуле Симпсона:

Поскольку в предыдущем варианте расчёта мы уже получили все значения , то сейчас просто подставим их в наше уравнение.

Задача №10.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

, , .

Решение:

Вычислим площадь фигуры с помощью определённого интеграла по формуле: