1) Не пользуясь правилом Лопиталя;

2) Используя правило Лопиталя.

Решение

1. При непосредственной подстановке в выражение значения x = 1 получаем неопределенность. Чтобы избавиться от нее, введем замену переменной:

х - π = t, x = π + t, t  0 при х  π. Тогда

При t  0 имеем бесконечно малые величины sin 3t и , которые заменим эквивалентными им величинами:sin 3t ~ 3t, ~:

2. Так как имеем неопределенность, воспользуемся правилом Лопиталя:

Опять получили неопределенность , поэтому повторно воспользуемся правилом Лопиталя:

Ответ : 18

Задание 95

Дана функция .

1) Вычислить все частные производные первого порядка;

2) Найти производную в точке м0 (1; 1; 1) по направлению вектора

;

3) Найти

Решение

1) Находим частные производные функции u= u(x,у):

2) Находим производную по направлению вектора :

Находим направляющие косинусы вектора :

cosα =

cosβ =

cosγ =

Находим значения частных производных в точке М₀:

Находим производную по направлению вектора в точке М₀ (1; 1; 1):

3) Находим градиент

Ответ: 1)

2) 0; 3) ;

Задание 105

Дана функция

Вычислить значение ее частной производной четвертого порядка в точке

Решение

Найдем частные производные:

Вычислим значение производной в точке:

Ответ: 54

Задание 115

Найти неопределенные интегралы:

а) б) в) г)

Решение

а)

Преобразуем подинтегральное выражение

Сделаем замену переменной: t = ,dt = .

=

_{Вернемся к переменной х:}

б)

Найдем искомый интеграл методом замены переменной. Введем новую переменную t = sin3x. Тогда dt = 3cos3x dx, cos3x dx = dt/3.

Имеем

_{Вернемся к переменной х:}

в)

Применим метод интегрирования по частям, для чего воспользуемся формулой:

Положим u = =3х² + х

Тогда = (3х² + х )  =6x + 1; du = (6x + 1)dх

Повторным интегрированием по частям найдем интеграл .

х = u, du = dx

Тогда искомый интеграл

г)

Преобразуем подинтегральное выражение:

Вернемся к переменной х:

Ответ:а); б) ; в) ;

г)