1) Угол между ребрами и

2) площадь грани

3) высоту, опущенную из вершины на грань

4) уравнение прямой, проходящей через ребро

5) уравнение плоскости, которой принадлежит грань

6) массу материальной треугольной пирамиды изготовленной из меди плотности(считая, что 1 масштабная единица в системе координат равна 1 см).

Решение

1) Найдем направляющий вектор прямой А₁А₂:

-.

Аналогично найдем направляющий вектор прямой А₁А₄:

- направляющий вектор прямой А₁А₄ .

Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ найдем как угол  между векторами :

_^ _

Следовательно, (А₁А₂, А₁А₄) =  = arccos 0,739  0,74(рад)  42,4 ^о

2) Найдем площадь грани А₁ А₂ А_3.

Имеем

Найдем

3) Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины на грань; по формуле:

,

где N(A, B,C) = (- 4; 3; -2)– нормальный вектор к плоскости А₁А₂ А₃, являющийся направляющим вектором искомой высоты.

Имеем:

4) Запишем уравнение прямой, проходящей через ребро А₁А₂ в виде уравнения прямой, проходящей через две точки А₁ и А₂:

- уравнение прямой А₁А₂.

5) Найдем уравнение плоскости, которой принадлежит грань А₁А₂ А₃ по трем точкам:

(x-3)( - 2 - 2) – (y + 1)( -1 - 2) + ( z - 2)(2 - 4) = 0

- 4(x-3) + 3(y + 1) - 2( z - 2) = 0

- 4x + 3y - 2z + 19 = 0 

4x - 3y + 2z - 19 = 0 – общее уравнение плоскости А₁А₂ А₃.

= (A, B, C) = (4; -3; 2) – нормальный вектор плоскости А₁А₂ А₃.

6) Массу пирамиды изготовленной из меди плотности, найдем по формуле:

m =  V, где V – объем пирамиды.

Найдем объём пирамиды по формуле:

V = ,

где S- площадь грани А₁ А₂ А_3, h – высота, опущенная из вершины А₄.

Найдем длину высоты h как расстояние от точки А₄ (2; -2; -1) до

плоскости А₁ А₂ А₃:

Ответ: 1)  42,4 ^о; 2) см²; 3) ;

4); ; 5) 4x - 3y + 2z - 19 = 0; 6) 10,4 грамма.

Задание 55

Изобразить геометрическое место точек, заданных уравнением

1) На плоскости,

2) В пространстве.

Решение

1. Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат:

4(х² + 4х + 4) - 9(у² – 2у + 1) - 16 + 9 + 43 = 0

4(х + 2)² - 9(у – 1)² = - 36  9(у – 1)² - 4(х + 2)² = 36

Разделим обе части уравнения на 36:

9(у – 1)² - 4(х + 2)² = 1  (у – 1)² - (х + 2)² = 1

36 36 4 9

Введем новые координаты:

х + 2 = х, у – 1 = у

Тогда уравнение примет вид

у² - х² = 1

4. 9

Получили каноническое уравнение гиперболы с центром О′ (-2; 1) в системе координат хОу. Действительная полуось длиной a = 2 находится на оси 0у. Мнимая полуось длиной b = 3 находится на оси 0х. Координаты вершин А₁(0; а) = А₁(0; 2), А₂(0; - а) = А₂(0; - 2) - в системе координат х′ О′ у′. Изобразим полученную параболу на плоскости хОу:

В пространстве данное уравнение описывает гиперболический цилиндр, который пересекает плоскость хОу по гиперболе сцентром в точке (-2; 1; 0) и с вершинами в точках А₁(-5; 3; 0),

А₂(1; -1; 0):

Контрольная работа №2

Задание 65

Найти пределы последовательностей:

а) б) в)

Решение

а) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:

Разделим в первом пределе числитель и знаменатель на n, а во втором – на n²:

б) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:

Разделим числитель и знаменатель на n²:

в) Здесь имеет место неопределенность вида . Преобразуем выражение и воспользуемся вторым замечательным пределом:

Ответ: а) 0; б) ; в) е ^{- 4}

Задание 75

Найти производную заданных функций:

а) б)

Решение

а) =

=

Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций

(vⁿ)' = n v^{n - 1} v ', где v = , в одном случае иv = - в другом случае. Получаем:

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций

(arcsin u)′ = , гдеu =. Получим

б)

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций

, где .

Получим

Ответ: а) ; б)

Задание 85

Найти предел функции :