курс 1, КОНТРОЛЬНАЯ 1, Вариант № 5

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛАРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет заочного и дистанционного обучения

Специальность: Программное обеспечение информационных технологий

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 1

Вариант № 5

ФИО

Группа

Зачетная книжка:

Электронный адрес:

Задача  5: Даны четыре вектора , , и , заданные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

; ; ; .

1) Найдем вектор

Так как скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат, то

2) По аналогии с пунктом 1 найдем вектор . Тогда векторное произведение найдем по формуле

3) Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим:

Значит, векторы некомпланарны и образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде , где координаты вектора в базисе

Значит, .

Задача 15: Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж.

; ; ; .

1) Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле

,

где координаты точки , координаты точки .

Таким образом, вычисляем:

.

2) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда ; .

3) Угол  между ребрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения векторов и .

Находим: ; ;

; ;

.

Поэтому , .

4) Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой , где координаты точки , координаты точки , координаты точки .

5) Найдем векторное произведение векторов и

.

Отсюда получаем, что

6) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а . Имеем .

7) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения:

кв.ед.

8) Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , _.

Таким образом,

_куб.ед.

9) Сделаем чертёж:

Задача 25. Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор Р есть :

.

Решив совместно уравнения L и Р, получим точку N пересечения L с Р:

. Но так как N –середина отрезка , то

.

Таким образом, точка имеет координаты .

Задача 35. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки вдвое больше, чем до прямой .

Обозначим произвольную точку искомой линии как .

Расстояние от М до прямой :

Расстояние между точками АМ:

Тогда по условию получаем:

Это каноническое уравнение гиперболы.