Основы векторной алгебры и аналитической геометрии

Контрольная работа № 1. Основы векторной алгебры и аналитической геометрии

Вариант 7

Задача 1.

Даны четыре вектора , и, заданные в прямоугольной декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение

1. 

2. +10

3. Чтобы показать, что векторы образуют базис необходимо показать, что

Для этого решим систему:

Покажем, что данная система имеет только тривиальное решение. Найдем определитель основной матрицы системы:

.

Найдем теперь координаты вектора в базисе . Для этого решим систему:

Воспользуемся методом Гаусса:

Из последнего нетрудно видеть, что . Значит, координаты вектора в базисе

Задача 2.

Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж.

; ; ; .

Решение

1. Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в прямоугольной декартовой системе координат вычисляется по формуле

,

где координаты точки, координаты точки.

2. Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда уравнение прямой имеет вид

3. Угол между ребрами и вычисляется по формуле , где – скалярное произведения векторов и .

4. Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой

где координаты точки, координаты точки , координаты точки .

Уравнение плоскости

5. Угол между ребром и плоскостью определяется по формуле

,

где – направляющий вектор прямой , то есть , а – нормальный вектор плоскости .

Из пункта 3 Из пункта 4

Тогда

6. Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты направляющего вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , из которой по условию задачи должна быть опущена высота на плоскость , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е Имеем

7. Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения:

.

Находим векторное произведение векторов и :

Т.о.

8. Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле .

9. 

Задача 3.

Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

Решение

Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор Р есть

Теперь найдем центр симметрии – точку пересечения прямой L и плоскости Р. Для этого запишем уравнение прямой L в параметрическом виде:

Подставим эти уравнения в общее уравнение плоскости Р и получим:

Подставив полученное значение параметра в параметрические уравнения прямой L, получим координаты точки – точки пересечения прямой L с плоскостью Р. Но так как N – середина отрезка , то

Таким образом, точка М имеет координаты

Задача 4.

Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки вдвое меньше расстояния до прямой . Привести полученное уравнение к каноническому виду и указать тип линии, описываемой этим уравнением.

Решение

Обозначим произвольную точку искомой линии как . Найдем расстояния от точки до прямой и до точки :

По условию Отсюда имеем:

Это каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями