К.р. № 7 в. 6 Ряды

Высшая математика. Контрольная работа №7.

Тема: Ряды.

316. Исследовать сходимость числового ряда:

Решение.

Каждый член данного положительного ряда меньше предыдущего, поэтому для исследования сходимости используем интегральный признак:

.

Решим сначала соответствующий неопределённый интеграл:

.

Тогда, получим:

, поэтому данный ряд сходится.

Ответ: сходится.

326. Найти интервал сходимости степенного ряда:

Решение.

Находим интервал сходимости ряда:

.

Следовательно, – искомый интервал сходимости.

Проверяем сходимость ряда на концах интервала.

При имеем знакопеременный числовой ряд с общим членом: .

Поскольку с увеличением порядкового номера члены ряда убывают по абсолютной величине, а также

, то за теоремой Лейбница ряд сходится.

При имеем числовой ряд с общим членом: .

Составляем частичные суммы ряда:

Используя определение сходящегося ряда, получим:

, поэтому ряд сходится.

Ответ: .

336. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать:

Решение.

Используя известное разложение функции в ряд:

разложим подынтегральную функцию в соответствующий ряд (для этого умножим известное разложение в ряд почленно на):

Тогда, получим:

Проводим соответствующие вычисления с заданной точностью:

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Поскольку , то

Ответ: .

346. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию y(0)=y₀:

Решение.

Пусть решение данного дифференциального уравнения можно представить в виде степенного ряда по степеням :

По условию , тогда:

(*).

Найдем коэффициенты ряда.

Из условия :

; ; .

Дифференцируем обе части дифференциального уравнения:

; ; ;

Подставим найденные коэффициенты в (*):

Ответ: .

356. На интервале (-π, π) задана периодическая с периодом 2π функция f(x). Требуется:

1). Разложить функцию f(x) в ряд Фурье;

2). Построить график суммы ряда Фурье.

Решение.

1). Рядом Фурье для функции в интервале называется тригонометрический ряд

,

где коэффициенты ряда , , (n=1, 2, 3,…) вычисляются по формулам Фурье:

;

, (n=1, 2, 3,…);

, (n=1, 2, 3,…).

В нашем случае: , . Находим по формулам соответствующие коэффициенты.

.

.

.

Тогда, получим следующее разложение функции в ряд Фурье:

, (n=1, 2, 3,…).

2). Построим график суммы ряда Фурье для третьей частичной суммы:

.

О

твет: , (n=1, 2, 3,…).