К.р. №1 5 вариант

Задача 5. Даны 4 вектора ,,и _{в некотором базисе. Показать, что векторы} образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение

Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим:

Значит, векторы некомпланарны и образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде, где координаты вектора в базисе , и найдем .

Определитель найден выше: .

; ; .

Имеем: ; ; .

Значит, .

_{Задача 15}.Даны координаты вершин пирамидыА₁А₂ А₃А_4. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани пирамиды А₁А₂ А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂ А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃. Сделать чертеж.

; ; ; .

Решение

1) Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле

,

где координаты точки , координаты точки .

Таким образом, вычисляем:

.

2)Угол  между ребрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения векторов и .

Находим: ; ;

;;

.

Поэтому ,.

3) Угол  между ребром и плоскостью – это угол между вектором и его ортогональной проекцией на грань .

Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и

Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и :

Здесь , . Находим:

.

Отсюда получаем, что .

4) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения:

.

5) Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , ,, котороенаходится по формуле .

Таким образом,.

6) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда .

В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде

или

т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей.

7) Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой, где координаты точки, координаты точки, координаты точки.

.

8) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . Имеем .

Задача 25. Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку.

Решение

Обозначим произвольную точку искомой линии как. Тогда по условию получаем, что, где Р –точка на оси абсцисс.P(x;0) Находим: ; .

Значит, . Возводя обе части этого соотношения в квадрат, получаем уравнение линии .

Уравнение параболы.

Задача 35. Доказать совместимость данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:

Решение

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем её определитель:

.

Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение.

1) При решении системы линейных уравнений методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей.

Составим расширенную матрицу системы: .

Теперь приведём её путем элементарных преобразований к треугольному или трапециевидному виду. Для этого прибавим к 3‑ей строке 1‑ю, умноженную на, ко 2‑ой строке прибавим 3‑ю, умноженную на. Получим: .

Ко 2‑й строке прибавим 3‑ю, умноженную на (-7) и переставим местами 2-ю и 3-ю строки, получим

.

Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система совместна и имеет единственное решение. Она сводится к эквивалентной системе линейных уравнений

Отсюда, подставляя во второе уравнение, получим , а из первого уравнения . Итак, , , .

2) Определитель основной матрицы системы , значит, система совместна и для матрицы коэффициентов существует обратная матрица. Находим решение по формуле или

,

где , алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Таким образом, обратная матрица к основной матрице системы имеет вид

.

Проверим правильность вычисления обратной матрицы: исходя из определения обратной матрицы, находим

Значит, матричное решение системы имеет вид

Отсюда следует, что , , .

Задача 45. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

Решение

Находим ранг матрицы:

Отсюда .

Таким образом, в данной системе линейных уравнений 2 зависимых и независимая переменные. Перенося слагаемые с х₃и х₄ в правую часть (базисный минор образован коэффициентами при х₁, х₂), по последней матрице записываем систему

-базисный минор

Итак, общее решение однородной системы линейных уравнений

Отсюда следует, что векториявляются решениями однородной системы. Обозначив произвольную константу х₃ через ,а х₄через , получим общее решение системы в виде.

Задача 55. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Решение

Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:

Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А.

При система имеет вид:

Значит, собственному значению соответствует собственный вектор

.

Здесь х₃ – произвольное действительное число, не равное нулю. Положив его, в частности, равным единице, получим собственный вектор в виде .

Аналогично при система имеет вид:

Значит, собственному значению соответствует собственный вектор

.

Здесь х₂ – произвольное действительное число, не равное нулю. Соответствующий собственный вектор имеет вид .

Аналогично при система имеет вид:

Значит, собственному значению соответствует собственный вектор

.

Приняв , получим собственный вектор в виде .

Таким образом, матрица А имеет три собственных значения , , , а собственные векторы имеют вид

;;

Задача 65. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм:

.

Решение

Составим матрицу данной квадратичной формы и найдём её собственные значения:

.

Корнями характеристического уравнения являются числа и . Им соответствуют собственные векторы и .

Нормируя собственные векторы, получим

и .

Матрица перехода Т к новому базису имеет вид

.

Вводим замену переменных

Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой:

После преобразования выражения получили

,

Разделим на 15 правую и левую части полученного уравнения:

в системе координат .

Полученное уравнение является уравнением эллипса с полуосями