математика кр1 вариант 8

учреждения образования

белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники

факультет заочного и дистанционного обучения

программное обеспечение информационных технологий

контрольная работа №1

по высшей математике

вариант №8

1. Даны четыре вектора , , и , заданные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

; ; ; .

Решение

1) Найдем вектор для этого умножим координаты вектора на 2 и от полученного вектора вычтем вектор . В результате вычитания получим

Так как скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат, то

.

2) По аналогии с пунктом 1 найдем вектор . Тогда векторное произведение найдем по формуле

:

3) Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим:

_.

Значит, векторы некомпланарны и образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде , где координаты вектора в базисе , и найдем .

Определитель найден выше: .

; ; .

Имеем: ; ; .

Значит, .

2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж.

; ; ; .

Решение

1) Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле

,

где координаты точки , координаты точки .

Таким образом, вычисляем:

.

2) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда .

3) Угол  между ребрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения векторов и .

Находим: ;

;

, .

4) Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой , где координаты точки , координаты точки , координаты точки .

.

5)Угол между ребром и гранью найдем по формуле:

Уравнение плоскости: , значит, A=5, B=6, C=-4.

6) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . Имеем .

7) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения:

.

8) Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле .

Таким образом, .

9) Сделаем чертёж:

3. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .

Решение

Найдем координаты точки , которая является проекцией т. на плоскости

Уравнение прямой находим в виде:

- координаты вектора

-нормальный вектор плоскости

Является направляющим вектором прямой , т.е.

Уравнение :

или ,

Подставляя в уравнение плоскости , , , найдем :

, ,

,

Тогда координаты т.:

, ,

- середина отрезка , где

Ответ:

4. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки и от оси ординат.

Решение

Пусть - производная точка искомой линии. По условию

где - проекция точки на ось ординат.

С другой стороны, по формуле расстояния между двумя точками, получаем

, .

Подставляем эти выражения в равенство , находим уравнение искомой линии

, , ,

,

Получаем уравнение параболы

Чертеж: