К.р. №5-6 1 вариант

221. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

Решение.

, сделаем замену: .

Тогда , .

,

,

,

,

, , - общее решение.

“Потерянные” решения:

ОДЗ(область допустимых значений) уравнения

- решение получится и ОР при .

Ответ: ,

231. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

Решение.

1)

- характеристическое уравнение

,

,

, - ОР (*)

2) Правая часть

2.1) (**)

- вид частного решения (**)

, . Подставим в (**):

- вид ЧР(**)

2.2) (***)

, . Подставим в (***):

- ЧР (***)

Общее решение ДУ:

, .

3)

;

;

Частное решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:

Ответ:

241. Найти общее решение системы уравнений:

Решение:

Применим метод Эйлера. Запишем систему в матричной форме:

.

Составляем характеристическое уравнение системы:

,

1) , , где

,

2) , , где

,

3) Общее решение системы ДУ находим, как линейную комбинацию полученных частных решений, т.е.

, где ,

или в матричной форме

.

Ответ: , где

251. Скорость распада радия пропорциональна его наличному количеству . Найти зависимость от времени , если известно, что по истечении 1600 лет остается половина первоначального количества радия. Принять первоначальное количество радия .

Решение:

- количество радия в момент времени

;

1) (*) - условие пропорциональности и .

, , ,

,

, - ОР(*)

2)

3)

Ответ:

261. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль линии от точки А (–1;1) до точки В (2;2).

Решение:

1) Отрезок задан уравнением: .

.

2) Отрезок задан уравнением: .

.

3) .

Ответ: 6.

271. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и его проекцию на плоскость изобразить на чертежах:

Решение:

- тело ограниченное .

- проекция на плоскость .

Вычислим объем :

(куб.ед.)

Ответ: куб.ед.

281. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр положителен.

Решение:

, .

Перейдем к полярным координатам:

, тогда

.

(кв.ед.)

Ответ: кв.ед.

291. Даны векторное поле и плоскость : , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду . Требуется вычислить: 1) поток векторного поля через часть плоскости , ограниченной координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости , которая образует с осью острый угол; 2) поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к ее поверхности. Сделать чертеж.

Решение:

1) Поток поля через в направлении .

.

2) Поток через пирамиду .

Так как поверхность пирамиды замкнута, то по форму Гаусса-Остроградского:

Ответ: 1) ; 2) .

301. Проверить, будет ли поле вектора : а) потенциальным; б) соленоидальным ? В случае потенциальности поля найти его потенциал :

Решение:

a) Поле определено во всем пространстве, т.е. в односвязной области,

поэтому для потенциальности достаточно . Найдем:

.

И так поле потенциально. Для вычисления потенциала по формуле в качестве точки возьмем начало координат. Тогда получаем:

б) Проверим соленоидальное поле вычислив:

Значит поле не является соленоидным.

Ответ: Поле вектора потенциально и не является соленоидальным .

11