КР 2, Вар 2

Контрольная работа № 2. Основы линейной алгебры

Задачи 41–50

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить её тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).

Задача 42: 

Решение:

Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем её определитель:

.

Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Вычисляем определители

которые составляем из матрицы коэффициентов путем поочередной замены каждого из столбцов на столбец правой части системы.

Далее по формулам Крамера вычисляем:

Таким образом, система имеет единственное решение , , .

Составим расширенную матрицу системы: .

Теперь приведём её путём элементарных преобразований к трапециевидному виду. Для этого прибавим к 1‑й строке 3‑ю, умноженную на (-1) и вторую, умноженную на (-2), ко 2‑й строке прибавим 3‑ю, умноженную на (-2). Получим:

.

Ко 2‑й строке, умноженной на 3 прибавим 3‑ю, умноженную на 5 получим

.

Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система совместна и имеет единственное решение. Она сводится к эквивалентной системе линейных уравнений

Отсюда находим:

Решим систему матричным способом. Решение невырожденной системы можно найти по формуле

.

Найдем обратную матрицу A^-1

Решим систему уравнений.

Задачи 51–60

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Задача 52:

Решение:

Для исследования совместности применим критерий Кронекера-Капелли. Для этого составим расширенную матрицу системы для определения её ранга и ранга матрицы коэффициентов:

.

Находим ранг r расширенной матрицы:

.

Отсюда .

Система совместна, но имеет множество решений. Найдем базисное частное решение при х₃ = 0, х₄ = 0.

Т.е.

Найдем фундаментальную систему решений. Положим х₃ = 1, х₄ = 0.

Т.е.

Положим х₃ = 0, х₄ = 1.

Т.е.

Итак, общее решение неоднородной системы линейных уравнений

Задачи 61–70

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Задача 62: .

Решение:

Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:

Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А.

При система имеет вид:

Значит, собственному значению соответствует собственный вектор

.

Здесь х₃ – произвольное действительное число, не равное нулю. Положив его, в частности, равным единице, получим собственный вектор в виде .

Аналогично при система имеет вид:

Значит, собственному значению соответствует собственный вектор

.

Здесь х₂ – произвольное действительное число, не равное нулю. Соответствующий собственный вектор имеет вид .

Аналогично при система имеет вид:

Значит, собственному значению соответствует собственный вектор

.

Приняв , получим собственный вектор в виде .

Таким образом, матрица А имеет три собственных значения , , , а соответствующие им собственные векторы имеют вид

Задачи 71–80

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат.

Задача 72: .

Решение:

В уравнении заданной кривой присутствует квадратичная форма следующего вида: . Составим матрицу данной квадратичной формы и найдём её собственные значения:

.

Корнями характеристического уравнения являются числа и . Им соответствуют собственные векторы и .

Нормируя собственные векторы, получим

и .

Матрица перехода Т к новому базису имеет вид

.

В соответствии с соотношением вводим замену переменных

Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой:

.

После преобразования выражения получим

или

Введя замену , , получим уравнение прямых

в системе координат . График полученных прямых приведем на рисунке.