кр № 5 вариант 3

5. Дифференциальные уравнения

223. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

Разделим обе части уравнения на ху:

Сделаем замену:

Проинтегрируем обе части уравнения:

– решение дифференциального уравнения.

233. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям.

,

Рассмотрим однородное уравнение:

– решение однородного уравнения. Частное решение общего уравнения будем искать в виде .

Тогда общее решение имеет вид:

.

Тогда частное решение имеет вид:

.

243. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Продифференцируем второе уравнение системы: . Выразим из второго уравнения системы х: и подставим его в первое уравнение системы:. Подставим это выражение в продифференцированное второе уравнение системы:

Перейдём к характеристическому уравнению:

Подставляем это выражение во второе уравнение системы:

Тогда решение имеет вид:

253. Катер движется в спокойной воде со скоростью . На полном ходу двигатель катера был включён, и через 2 мин. Скорость катера уменьшилась до . Определить скорость, с которой двигался катер через 40 с после выключения двигателя, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения катера.

Обозначим через v-скорость катера, через t- время, отсчитываемое с начального момента. За промежуток времени dt скорость катера уменьшается на dv км/ч, к- коэффициент пропорциональности . Начальные условия имеют вид:

Запишем уравнение в виде:

Проинтегрируем обе части уравнения:

Найдём С и к, подставляя начальные условия:

Необходимо вычислить , где .

Значит, через 40 секунд скорость катера была 3,684 км/ч.