Высшая математика часть 1. Контрольная работа №2. Вариант 4
.docУЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет заочного, вечернего и дистанционного обучения
Специальность: программное обеспечение
информационных технологий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 2
Вариант № 4
2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Задание 54.
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами:
1) методом Гаусса;
2) средствами матричного исчисления.
1) Решение методом Гаусса
При решении методом Гаусса используем расширенную матрицу:
= 
С помощью
элементарных преобразований приведём
к треугольному виду:
−> 
−> 
−> 
Таким образом, ранги основной и рассматриваемой матриц равны 3, и поэтому система имеет единственное решение, и она сводится к системе:
=> 
=> 
2) Решение средствами матричного исчисления
Найдём определитель системы:
Δ = 
+ 1 * 
+ 5 * 
= 2 * (10+13) + 1 * (25−39) + 5(−5−6) = 46 – 14 – 55 = −23
Так как
определитель матрицы отличен от нуля,
то решение найдём по формуле: X
= 
* B
Найдём
обратную матрицу 
,
для этого найдём алгебраические
дополнения 
с учётом того, что 
имеет вид:
= 
* 
= 
= 23 
= 
= 0 
= 
= −23
= 
= 14 
= 
= −5 
= 
= −1
= 
= −11 
= 
= −1 
= 
= 9
Проверим правильность вычисления обратной матрицы, исходя из её определения:
* A
= 
* 
* 
= 
* 
= 
* 
= 
= E
Значит, матричная система имеет вид:
= 
* 
* 
= 
* 
= 
* 
= 
Таким образом, 
= −4, 
= −2, 
= 2
Ответ: 
= −4, 
= −2, 
= 2
Задание 64.
Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Найдём ранг основной матрицы системы с помощью элементарных преобразований:
~ 
~ 
Таким образом, 
= 2
Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений этой системы: n – r = 4 – 2 = 2
Преобразованная система имеет вид:
<=> 
<=>
<=>
Эти формулы дают общее решение. В векторном виде его можно записать следующим образом:
= 
= 
= 
* 
+ 
где 
, 
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
= 
и 
= 
образуют базис пространства решений данной системы.
Задание 74.
Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x1′′, x2′′, x3′′ через x1, x2, x3
Решение
Первое линейное преобразование:
= A
* 
имеет матрицу А = 
Второе:
= B
* 
имеет матрицу В = 
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и 
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C = B * A , то есть
C
= 
* 
= 
Поэтому искомое линейное преобразование имеет вид:
= 
* 
Задание 84.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Составляем характеристическое уравнение матрицы:
= 
= 0
(5−λ)
* 
+ 7 * 
+ 0 * 
= 0
(5−λ) (1−λ) (−3−λ) + 7 (−3) (−3−λ) = 0 (**)
(5−6λ+
)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
− 
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
− 
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть 
= 8 , 
= −3 , 
= −2
При 
= 8 система имеет вид:
=> 
Выразим 
через 
:
4 * (−7
)
+ 6
= 11
−22
= 11
=> 
= −0,5
Выразим 
через 
:
12
+ 6*(
)
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=> 
= 1
Таким образом,
числу 
= 8 соответствует собственный вектор:
= 
= 
= 
где 
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=> 
= 
= 0
Таким образом,
числу 
= −3 соответствует собственный вектор
= 
= 
= 
Наконец для 
= −2 решаем систему:
=> 
то есть вектор
= 
= 
= 
Итак, матрица А
имеет три собственных значения: 
= 8 , 
= −3 , 
= −2. Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
= 
= 
= 
Задача 94.
Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.
Левая часть
уравнения 
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А = 
Решаем характеристическое уравнение:
= 0 , то есть 
= 0
<=> (5−λ) (3−λ) = 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 , 
= 7
Найдём собственные векторы из системы уравнений
при 
= 1 , 
= 7
Если 
= 1 , то:
=> 
= 
Значит собственный
вектор 
= 
для 
= 1
Если 
= 7 , то:
=> 
= 
значит собственный
вектор 
= 
для 
= 7
Нормируем собственные векторы, по правилу:
= 
, получаем:
=
=
Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому:
T
= 
Выполняя преобразования:
= T
= 
* 
= 
=>
x
= 
+
, y
= 
+
Подставим полученные x и y в исходное уравнение и полученное уравнение упростим:
5 
+ 
+ 3 
= 14
+ 
+ 2
2
+ 
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+ 
= 1 – каноническое уравнение эллипса