Задание 37

Даны три вектора Докажите, что векторы образуют базис, и определите, какая это тройка векторов: правая или левая.

Решение

3) Найдем смешанное произведение векторов :

Т.к. ≠ 0, значит данные векторы не компланарны. Таким образом, они линейно независимы и образуют базис. При этом, они образуют левую тройку векторов, т.к. их смешанное произведение – число отрицательное:

= - 17  0.

Ответ: Векторы образуют базис, тройка векторов – левая.

Задание 47

Даны координаты вершин треугольной пирамиды А₁А₂А₃А₄:

Найдите:

1) угол между ребрами и

2) площадь грани

3) высоту, опущенную из вершины на грань

4) уравнение прямой, проходящей через ребро

5) уравнение плоскости, которой принадлежит грань

6) массу материальной треугольной пирамиды изготовленной из меди плотности(считая, что 1 масштабная единица в системе координат равна 1 см).

Решение

1) Найдем направляющий вектор прямой А₁А₂:

-.

Аналогично найдем направляющий вектор прямой А₁А₄:

- направляющий вектор прямой А₁А₄ .

Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ найдем как угол  между векторами :

_^ _

Следовательно, (А₁А₂, А₁А₄) =  = arccos 0,967  0,258(рад)  14,76 ^о

2) Найдем площадь грани А₁А₂А_3.

Имеем

Найдем

3) Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины на грань; по формуле:

,

где N(A,B,C) – нормальный вектор к плоскости А₁А₂А₃, являющийся направляющим вектором искомой высоты.

Имеем:

4) Запишем уравнение прямой, проходящей через ребро А₁А₂ в виде уравнения прямой, проходящей через две точки А₁ и А₂:

- уравнение прямой А₁А₂.

5) Найдем уравнение плоскости, которой принадлежит грань а1а2 а3 по трем точкам:

(x-3)( - 3 - 2) – (y - 2)( -1 + 4) + ( z - 1)(-1 - 6) = 0

- 5(x-3) - 3(y - 2) - 7( z - 1) = 0

- 5x - 3y - 7z + 28 = 0 

5x + 3y + 7z - 28 = 0 – общее уравнение плоскости А₁А₂ А₃.

= (A, B, C) = (5, 3, 7) – нормальный вектор плоскости А₁А₂ А₃.

6) Массу пирамиды изготовленной из меди плотности, найдем по формуле:

m=V, гдеV– объем пирамиды.

Найдем объём пирамиды по формуле:

V=,

где S- площадь грани А₁А₂А_3, h– высота, опущенная из вершины А₄.

Найдем длину высоты hкак расстояние от точки А₄ (2; -1; 2) до

плоскости А₁А₂А₃:

Ответ: 1) 14,76 ^о; 2) ; 3) ;

4); ; 5) 5x + 3y + 7z - 28 = 0; 6) 10,4 грамма.

Задание 57

Изобразите геометрическое место точек, заданных уравнением

:

1) На плоскости,

2) В пространстве. Решение

1. Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат:

3(х² + 6х + 9) – у – 27 + 28 = 0

3(х + 3)² = у – 1

(х + 3)² = (у – 1)

Введем новые координаты:

х + 3 = х, у – 1 = у

Тогда уравнение примет вид

х ′ ² = у′

Получили каноническое уравнение параболы симметричной относительно оси ординат. Ветви ее обращены в положительную сторону оси ординат. Вершина находится в точке О′ (- 3; 1) в системе координат хОу.

2р = ,р =

Изобразим полученную параболу на плоскости хОу:

В пространстве данное уравнение описывает параболический цилиндр, который пересекает плоскость хОу по параболе с вершиной в точке (-3, 1, 0).