ВМ Кр№1

Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Вариант 9

9. Даны четыре вектора a ( a1 ; a2 ; a3 ), b ( b1 ;b2 ;b3 ), c ( c1 ;c2 ;c3 ) и d ( d1 ; d2 ; d3 ) в

некотором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

a (1;0;5), b (3;2;7), c (5;0;9), d (-4;2;-12).

Три вектора a , b , c линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны, т.е. определитель матрицы abc равен нулю.

Смешанное произведение векторов a , b , c отлично от нуля, следовательно, векторы

некомпланарны. Значит a , b , c являются линейно независимыми и образуют базис.

Решаем систему уравнений

x + 3y + 5z = −42 y = 2

5x + 7 y + 9z = −12

находим y из второго уравнения: 2y = 2

y = 1

выражаем x из первого уравнения: x + 3y + 5z = - 4

x = -3y – 5z – 4

подставляем выражения для x и y в третье уравнение: 5x + 7y + 9z= -12

5(-3y – 5z – 4) + 7y + 9z= -12

2

-15y – 25z – 20 +7y + 9z = -12 -16z = 8 + 8y

-16z = 16 z = -1

найдем x:

x = -3y – 5z – 4

x = -3*1 – 5*(-1) – 4 x = -3 + 5 – 4

x = -2

d = (-2)*a + 1*b +(-1)*c d = -2a + b – c

Вектор d в данном базисе имеет координаты x = -2, y = 1, z = -1

19. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж.

А1 (7;5;3), А2 (9;4;4), А3 (4;5;7), А4 (7;9;6).

Находим координаты векторов А1А2 , А1А3 , А1А4

А1 А2 = (9-7;4-5;4-3) = (2;-1;1)

А1 А3 = (4-7;5-5;7-3) = (-3;0;4)

А1 А4 = (7-7;9-5;6-3) = (0;4;3)

1) находим длину ребра А1А2, которая равна расстоянию между точками А1 и А2 , по формуле

2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4 вычисляем по формуле

3

3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 определяем по формуле

x1, y1, z1 - координаты вектора,

А, В, С - коэффициенты уравнения плоскости Ax+By+Cz+D=0 Уравнение плоскости А1А2А3 записываем в виде

(x-7)*(-1)*4 + (-3)*1*(y-5) + (z-3)*2*0 - (z-3)*(-1)*(-3) - (x-7)*1*0 - 4*2*(y-5) = 0 - 4x - 11y - 3z + 92 = 0

4) грань А1А2А3 является треугольником, площадь которого составляет половину площади параллелограмма, построенного на векторах А1А2 иА1А3

Координаты векторного произведения рассчитываем по формуле

4

+1*4*(-3) - 1*0*0 - 3*(-3)*(-1) - 2*4*4) = 536

6)уравнение прямой А1А2 как прямой проходящей через две точки записываем в виде

Обозначая равные отношения буквой t получаем уравнения вида

7) уравнение плоскости А1А2А3 определено в п. 3 -4x - 11y - 3z + 92 = 0

8) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0,y0,z0) и имеющей направляющий (любой ненулевой вектор параллельный прямой) вектор а = (а1,а2,а3), имеет вид

Для искомых уравнений высоты точкой M0 является точка А4 (7;9;6), а за направляющий вектор а = (а1,а2,а3) может быть принят нормальный (перпендикулярный плоскости)

вектор n = (A, B, C). Для плоскости А1А2А3 n = (-4;-11;-3).

5

29. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А (4;0) вдвое дальше, чем от прямой x = 1.

Пусть М (x,y) произвольная точка линии, N - основание перпендикуляра проведённого через точку М к прямой x = 1. Расстояние от точки А до точки М АМ определяем по формуле

Расстояние от точки М до прямой x = 1 NМ определяем по формуле

d = Ax + By + C

A2 + B2

NM = x − 1 = x − 1 12

По условию задачи AM = 2 NМ

(x − 4)2 + y2 = 2 x − 1

(х-4)2 + y2 = 4(x-1)2

x2 + y2 – 8x + 16 – 4x2 + 8x – 4 = 0 3x2 - y2 = 12

6

Полученное уравнение определяет гиперболу с полуосями a=2, b= 2 3

39. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить её двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

x1 − 2x2 + 3x3 = 62x1 + 3x2 − 4x3 = 203x1 − 2x2 − 5x3 = 6

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

1) для решения системы уравнений по методу Гаусса первое уравнение системы умножают на - а21/а11 и прибавляют ко второму; первое уравнение системы умножают на - а31/а11 и прибавляют к третьему.

Записываем расширенную матрицу

7

49. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

Вторая матрица получена из первой путём умножения первой строки на (-1) и прибавления ко второй строке. Третья матрица получена путем прибавления первой строки к третьей строке. Четвёртая матрица получена умножением второй строки на 2 и прибавлением к третьей строке.

Ранг матрицы rA= 2, число неизвестных (число столбцов матрицы) n=4. Размерность пространства решений системы n-r = 4-2 = 2, следовательно, существует базис этого пространства, состоящий из двух векторов, через который выражается любое решение системы.

системы.

9

59. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Находим корни характеристического уравнения, которые являются собственными значениями матрицы

(5-λ)*(3-λ)*(-1-λ) + 0*9*(-2) + 0*2*7 - 0*7*(3-λ) - 0*9*(-1-λ) - 2*(-2)*(5-λ) = 0 (5-λ)*(3-λ)*(-1-λ) + 4*(5-λ) = 0 -λ3 + 7λ2 – 11λ + 5 = 0 (5-λ)*( λ2 – 2λ + 1) = 0 (5-λ)*(λ – 1) 2 = 0

Находим собственные векторы матрицы, подставляя корни характеристического уравнения в систему

(5 − λ )x1 + 9x2 + 7x3 = 0(3 − λ )x2 − 2x3 = 0

2x2 + (−1 − λ )x3 = 0

При х3=1 X 2 = (-4;1;1)

10

Для λ3 = 1

69. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.