ФЗО, ИТиУвТС, Вариант 6, контрольная работа номер 2 по теме Введение в анализ

2. Введение в анализ

76. Построить график функции преобразованием графика функции y=sinx.

Записав данную функцию в виде замечаем, что у неё А=, .

1. Строим одну волну косинусоиды и отмечаем на ней несколько точек.

2. Увеличивая в 4/3 раза ординаты выбранных точек графика функции и оставляя неизменными абсциссы, затем, отображая полученную линию зеркально относительно оси ОХ, графика y=cosx, строим график функции .

3. Увеличивая в 3 раза абсциссы точек графика функции и сохраняя неизменными ординаты, строим график функции .

4. Перенося точки графика функции в направлении оси абсцисс на 1 единицы масштаба этой оси влево, строим искомый график функции .

y=cosx

y=4/3cosx

86. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от φ=0 до φ=2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с плюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью и по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

1)

φ	r
0	0,27
π/8	0,28
π/4	0,32
3π/8	0,41
π/2	0,60
5π/8	1,11
3π/4	3,96
7π/8	-5,52
π	-3,00
9π/8	-5,52
5π/4	3,96
11π/8	1,11
3π/2	0,60
13π/8	0,41
7π/4	0,32
15π/8	0,28
2π	0,27

2) Найдем уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат

Подставим это значение в уравнение линии:

Это уравнение данной линии в декартовой системе координат.

Эта линия является гиперболой.

96. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

а)

б)

в)

г)

106. Дана функция и два значения аргумента х₁=10, х₂=8. Требуется: установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений х; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж..

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;8),(8;+∞).

Исследуем поведение функции в точках х₁=10, х₂=8. Найдём односторонние пределы.

При х=10 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. При х=8 функция имеет бесконечные пределы, значит, в этих точках функция разрывна.

116. Задана функция y=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;0], (0,2],(2;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Исследуем поведение функции. В точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х=0 и х=2. Найдём односторонние пределы.

При х=0 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. Т.к. односторонние пределы при х=2 различны, то функция терпит в точке разрыв. А т.к. односторонние пределы конечны, то х=2 – точка разрыва первого рода. Функция имеет скачок в этой точке равный 4+1=5.

График этой функции: