
контрольная работа вариант-9
.docxВариант 9
№319 Исследовать сходимость числового ряда
Решение
Т.к.
По признаку сравнения исходный ряд можно сравнить с рядом
Который сходится по интегральному признаку
Из сходимости
следует сходимость
Ответ. Ряд сходится.
№329. Найти интервал сходимости степенного ряда
Решение
Найдем радиус сходимости
Интервал
сходимости
№339 Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать.
Ответ. 0.717
№349 Найти
три первых отличных от нуля члена
разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения,
удовлетворяющего начальному условию
Решение
Найдем
:
Найдем
:
Тогда решение примет вид:
Ответ
№ 359. На
интервале
задана периодическая с периодом
функция
.
Требуется
-
Разложить функцию в ряд Фурье
-
Построить график суммы ряда Фурье
Решение
Тогда ряд Фурье примет вид
Нарисуем график
№369. Представить заданную функцию
, где
, в виде
; проверить, является ли она аналитической.
Если да, то найти значение ее производной
в заданной точке
Решение
Проверим, является ли функция аналитической
Найдем производную в точке
№379 Разложить функцию
в ряд Лорана в окрестности точки
:
Решение
№389 Определить область (круг) сходимости данного ряда и исследовать сходимость его (расходится, сходится условно, сходится абсолютно) в точках z1, z2, z3
Решение
Найдем радиус сходимости
Тогда ряд сходится в круге
-
, значит в этой точке ряд сходится абсолютно.
-
Исследуем ряд из модулей
По интегральному признаку
расходится
Проверим признак Лейбница
1
2
Условие Лейбница выполняется, значит ряд сходится условно.
-
лежит за кругом сходимости, а значит в
ряд расходится.
№399. При помощи вычетов вычислить данный
интеграл по контуру
.
Решение.
- полюсь первого порядка
- полюс второго порядка
Найдем вычеты
Тогда
№409 Найти изображение заданного оригинала
.
Решение
Ответ.
№419. Найти изображение заданного
оригинала
.
Решение
Тогда
Ответ
№429. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
Решение
Подставим в уравнение
Ответ.