Контрольная 7, 5 вариант

345.) Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

Решение:

Найдем

Составим разность

Вычислим интегрирующий множитель

После умножения на r(x) уравнение становится точным:

Его общий интеграл имеет вид U(x,y)=C, где

U(x,y)=F(x,y)+G(x,y),

Посчитаем отдельно

, пусть , ,

- общий интеграл дифференциального уравнения

355.) Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

,

Решение:

а) Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

, корни уравнения .

б) Правая часть уравнения не является специальной правой частью, но может быть представлена как сумма двух специальных частей = 2sin2x и = 2x. Найдем частные решения для каждой из них, а затем, используя метод суперпозиции, напишем искомое частное решение для всей правой части

- вычислим контрольное число правой части - не корень характеристического уравнения, следовательно, кратность r=0,

- вычислим контрольное число правой части - не корень характеристического уравнения, следовательно, кратность r=0, k=1

Частное решение для суперпозиции примет вид:

Для нахождения вычислим и подствим их в исходное уравнение

Подставим найденные значения производных в уравнение с правой частью

Решим систему:

Итак,

Запишем фундаментальную систему решений однородного уравнения.

Корни у нас равны и действительны, значит

и

Запишем общее решение неоднородного уравнения:

Решим задачу Коши:

Решим систему

Найдено решение задачи Коши

365.) Найти общее решение системы уравнений (рекомендуем решать с помощью характеристического уравнения)

Решение:

Применим метод Эйлера. Запишем систему в матричной форме:

Будем искать частное решение в виде , , где – константы. Составляем характеристическое уравнение матрицы системы (E-единичная матрица n-го порядка):

Находим и из системы уравнений

А) При получаем

Положив , получим . Таким образом, характеристическому числу соответствует частное решение

Б) При получаем

Положив , получим . Таким образом, характеристическому числу соответствует частное решение

Общее решение системы находим как линейную комбинацию полученных частных решений, т.е.

375. По закону Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20⁰С и тело в течение часа охлаждается от 100 до 30⁰С, то через сколько минут (с момента начала охлаждения) его температура понизится до 60⁰С?

Решение:

Пусть T-температура тела, -температура окружающей среды, -количество теплоты, с – удельная теплоемкость. Тогда количество теплоты, передаваемое окружающей среде при снижении температуры тела выражается формулой или, в деференциальной форме, . С другой стороны скорость отдачитепла можно выразить в виде , где k – некоторый коэффициент пропорцианальности. Из этих уравнений получаем:

Итак из условия составим систему (в момент t=0 и момент t=60), для нахождения константы С и коэффициента :

Температура понизится до 60⁰С через