Решение:

Данная система имеет размер 2×3. Она однородна, т.к. свободный член в каждом уравнении равен нулю. Число уравнений меньше числа неизвестных. Следовательно, множество решений системы бесконечно.

Проведем преобразования:

Для этого проведём преобразования матрицы А:

1. Отнимем от элементов первой строки элементы второй строки, умноженные на 2;

2. К первой строке добавим третью;

3. Третью строку умножим на 3 и вычтем из неё вторую строку;

Ранг матрицы системы равен двум, так как только среди ее миноров

второго порядка есть отличный от нуля, например минор

Следовательно, данная система эквивалентна системе

,

Отсюда

Следовательно, множество решений системы имеет вид

.

Задача 74. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через

Решение:

Составим две матрицы:

и

найдем их произведение:

Поэтому искомое линейное преобразование имеет вид:

Задача 84. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Решение:

1. Характеристическое уравнение данного преобразования имеет вид:

Корни этого уравнения следующие: ; ;

2. Все корни являются собственными числами.

3. Чтобы найти собственный вектор с собственным числом , полагаем в системе . Получим

Решение этой системы можно записать в виде

; ;

Вектор , где и — любые числа, удовлетворяющие условию , является собственным вектором данного преобразования с собственным числом .

4. Аналогично находим собственный вектор с собственным числом :

; ;

Вектор , где — любое число, удовлетворяющее условию , является собственным вектором данного преобразования с собственным числом .

5. Аналогично находим собственный вектор с собственным числом :

; ;

Вектор , где — любое число, удовлетворяющее условию , является собственным вектором данного преобразования с собственным числом .

Задача 94. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.

Решение:

Введем обозначение. Тогда матрица данной квадратичной формы

.

Найдем собственные значения этой матрицы. Ее характеристическое уравнение имеет вид

,

откуда ; . Тогда квадратичная форма имеет следующий канонический вид: . Переходя к исходному уравнению, получаем . Т.е. имеем эллипс

Задача 104. Построить график функции преобразованием графика функции .

Решение:

1. Построим график функции :

2. График общей синусоиды с амплитудой , круговой частотой и фазой получим синусоиды последствием преобразований:

растяжением в раз в направлении оси ,

растяжением в = раз в направлении оси

и последующим параллельным переносом по оси на .

Задача 114. Дана функция на отрезке . Требуется:

1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая  значения через промежуток /8, начиная от =0;

2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.