Высшая математика-КР1-5 Вариант-АСОИ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет заочного и дистанционного обучения

Специальность: Автоматизированные системы обработки информации

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 1

Вариант № 5

Маленького Евгения Николаевича

Группа: 000622

Зачетная книжка: 000622-25

Электронный адрес: 12_09_79@mail.ru

Задача 5

Даны четыре вектора и заданные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

1) вычислить скалярное произведение .

Произведение вектора на скаляр равно произведению его координат на скаляр:

;

Разность векторов – есть разность соответствующих координат:

Так как скалярное произведение векторов равно сумме произведению соответствующих координат, то:

2) вычислить векторное произведение .

По аналогии с первым пунктом произведение вектора на скаляр и разность векторов равны:

;

Векторное произведение векторов найдем по формуле:

;

.

3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Базисом в пространстве R³ являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Найдем смешанное произведение векторов по формуле:

; ; векторы некомпланарные и образуют базис, а значит вектор , где координаты вектора в базисе . Запишем это выражение в виде системы уравнений в координатном виде:

;

Решим эту систему по правилу Крамера. Определитель системы уже найден: ∆= – 28, теперь найдем:

;

;

;

Отсюда:

; ; ;

Следовательно, вектор имеет координаты {1;4;-4} в базисе или:

.

Задача 15

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) уравнение прямой А₁А₂; 3) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 4) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 5) угол между ребром А₁А₂ и гранью А₁А₂А₃; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃; 7) площадь грани А₁А₂А₃; 8) объем пирамиды; 9) сделать чертеж.

А₁(9;5;5); А₂(-3;7;1); А₃(5;7;8); А₄(6;9;2).

1) Найти длину ребра А₁А₂.

Длина ребра А₁А₂ численно равна расстоянию между точками А₁ и А₂, которое в декартовой системе координат находится по формуле:

, где x₁, y₁, z₁ – координаты точки А₁, а x₂, y₂, z₂ – координаты точки А₂. Таким образом, получаем:

.

2) Найти уравнение прямой А₁А₂.

Для составления уравнения прямой А₁А₂, воспользуемся формулой:

, где x₁, y₁, z₁ – координаты точки А₁, а x₂, y₂, z₂ – координаты точки А₂, уравнение прямой А₁А₂ будет иметь вид:

– это канонический вид уравнения прямой, либо:

.

В таком виде уравнение прямой выглядит как уравнения двух пересекающихся плоскостей.

3) Найти угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄.

Угол φ между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ находится по формуле:

- из скалярного произведения векторов и

Находим:

;

;

;

;

значит:

.

4) Найти уравнение плоскости А₁А₂А₃.

Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой:

, где x₁, y₁, z₁ – координаты точки А₁, x₂, y₂, z₂ – координаты точки А₂ и x₃, y₃, z₃ – координаты точки А₃, подставляем значения:

раскрываем определитель:

– уравнение плоскости А₁А₂А₃.

5) Найти угол между ребром А₁А₂ и гранью А₁А₂А₃.

Угол θ между ребром А₁А₂ и плоскостью А₁А₂А₃ – это угол между вектором и его ортогональной проекцией А₁А₄ на грань А₁А₂А₃. Вектор перпендикулярен грани А₁А₂А₃, что вытекает из определения векторного произведения,

значит имеем:

; ;

.

6) Найти уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

Уравнение высоты получим из канонического уравнения прямой:

, где M₀(x₀, y₀, z₀) – точка, лежащая на искомой прямой; m, n, p – координаты вектора , параллельного искомой прямой. В качестве точки M₀ возьмем точку А₄(6;9;2), а в качестве вектора – нормальный вектор плоскости А₁А₂А₃, т.е. вектор , найденный в пункте 5.

Получим:

.

7) Найти площадь грани А₁А₂А₃.

Площадь найдем из геометрического смысла векторного произведения:

.

8) Найти объем пирамиды.

Объем найдем из геометрического смысла смешанного произведения:

;

;

.

9) Выполнить чертеж.

Задача 25

Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

Составим уравнение плоскости P, проходящей через точку М перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор к P, есть ;

;

Решив совместно уравнение L и уравнение P, получим их точку пересечения N:

;

Пусть , тогда:

;

далее по восходящей находим x, y, z:

; ; ;

значит координата пересечения P с L: ;

Так как точка N – середина отрезка MM', значит координата точки M плюс координата точки M', деленная пополам, есть координата точки N:

; ; ;

.

Задача 35

Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки вдвое больше, чем до прямой .

Возьмем на искомой линии произвольную точку M(x, y). Тогда по условию получаем, что , где P – основание перпендикуляра из точки M к прямой . Исходя из этого находим:

, где – координаты точки M,

а – координаты точки A;

, где – коэффициенты в уравнении прямой ;

; ;

;

;

;

;

Из уравнения линии второго порядка общего вида:

– видно, что и

– разные знаки полученная линия – есть гипербола