К.р. №8 в. 6 Функции комплексной переменной и операционное исчисление

Высшая математика. Контрольная работа №8.

Тема: Функции комплексной переменной

и операционное исчисление.

366.Представить заданную функцию w=f(z), где z=x+iy, в виде w=u(x,y)+iv(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке z₀:

Решение.

Так как , то представим функцию в виде . . Умножим числитель и знаменатель на , далее используем формулу сокращенного умножения . Получим

Тогда

Функция является аналитической, то выполняются условия Коши – Римана

Вычислим частные производные,

,

.

Получим , , условие Коши-Римана выполняется.

Вычислим производную в точке , тогда .

376.Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z₀:

Решение.

Представим функцию в виде . Используем формулу тригонометрии . Тогда

.

Далее используем разложение в ряд функций и . Тогда получим разложение

386.Определить область (круг) сходимости данного ряда и исследовать сходимость его (расходится, сходится условно, сходится абсолютно) в точках z₁, z₂, z₃:

Решение.

Для данного степенного ряда . Тогда . Получим

.

Область сходимости ряда определяется неравенством , которое выражает внутренность круга с центром в точке радиусом 2.

Точка лежит вне круга сходимости. Следовательно, ряд в точке расходится.

Точка лежит внутри круга сходимости. Поэтому ряд в точке сходится абсолютно.

Точка лежит на границе круга сходимости. Исследуем на сходимость в этой точке. Подставим , получим ряд

.

Сравним данный ряд с рядом . Этот ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем . Следовательно, ряд в точке сходится абсолютно.

396.При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру l:

Решение.

Функция внутри контура интегрирования имеет особые точки: - полюс второго порядка; - полюс первого порядка.

.

Тогда интеграл равен

.

Ответ: .

406.Найти изображение заданного оригинала f(t):

Решение.

По таблице основные оригиналы и их изображения . Далее используем теорему дифференцирования изображения

.

Ответ: .

416. Найти изображение заданного оригинала f(t):

Решение.

По таблице оригиналов и используя свойство линейности . По теореме интегрирования изображения . Пычислим несобственный интеграл. Для этого дробь представим в виде . Найдем коэффициенты

.

Тогда

Получим . Интегрируем

По теореме интегрирования оригинала

.

426.Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Решение.

Пусть , тогда по правилу дифференцирования оригинала имеем и . По таблице основные оригиналы и их изображения . Подставим в уравнение, получим

,

, .

Представим дробь в виде суммы простых дробей, т.е. . Найдем коэффициенты

,

.

Тогда

Получим

.

Переходя к оригиналам, получаем

.

Ответ: .