Контрольная работа №3 (1 курс 2 семестр) 20 вариант
.docxКонтрольная работа №3
Задание 1. Вычислите определенные интегралы.
10. а)
б)
Решение.
=
=
=
=
=
.
б)
Решение.
=
=
=
=
=
=
.
Задание 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделайте рисунок.
20.
Построим область
=
=
=
.
Ответ: 16,5 кв. ед.
Задание 3. Найдите общие решения дифференциальных уравнений.
30. а)
б)
Решение.
,
.
Подстановка
.
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
– общее решение дифференциального
уравнения.
б)
Решение.
Составим хараетеристическое уравнение
,
–
корни характеристического уравнения:
,
,
.
Общее решение дифференциального уравнения
Задание 4. Решите
задачу Коши при начальном условии
40.
Решение.
Подстановка:
.
,
.
Пусть
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
– общее решение.
Решим задачу Коши
,
– частное решение.
Задание 5. Вычислите объем тела, ограниченного указанными поверхностями, с помощью:
1) двойного интеграла;
2) тройного интеграла.
50.
Решение.
Проекция тела на плоскость хОу
Определим объем тела:
1.
=
=
=
.
2.
=
=
=
=
.
Ответ: 1/6 куб.ед.
Задание 6. Даны
векторное поле
и две поверхности
и
Вычислите:
1) поток векторного
поля
через замкнутую поверхность σ, ограниченную
поверхностями
и
в направлении внешней нормали;
2) циркуляцию
векторного поля
вдоль линии L
пересечения поверхностей
и
в положительном направлении обхода
относительно орта
60.
Решение.
1. Так как поверхность
σ замкнута и нормаль внешняя, то для
вычисления потока вектора
через эту поверхность воспользуемся
формулой Гаусса-Остроградского.
.
Поток равен.
=
=
=
=
.
2.
Найдем циркуляцию по формуле Стокса.
.
;
;
.
=
.
S
– площадь проекции поверхностей
и
на плоскость
(окружность радиуса 1 с центром в начале
координат).
.
Контрольная работа №4
Задание 1. Исследуйте сходимость числового ряда.
70.
Решение.
Найдем предел отношения
Следовательно,
ряд расходится, так как не выполняется
необходиный признак сходимасти
.
Задане 2. Найдите радиус и область сходимости степенного ряда, установите тип сходимости (абсолютная, условная сходимость).
80.
Решение.
Рассмотрим ряд из
модулей:
,
.
Найдем радиус сходимости
Область сходимости:
.
Иследуем сходимость ряда на концах интервала
,
ряд расходится (по предельному признаку
сраввнения, сравниваем с рядом
).
,
– расходится.
Исследуем ряд
на концах интервала
,
–расходится.
,
– знакочерезующийся ряд.
Воспольузуемся признаком Лейбница.
1-ое условие:
– выполняется.
2-ое условие:
– выполняется.
При
– ряд сходится.
Область содимости:
Задание 3. Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
90.
Решение.
Разложим функцию в степенной ряд
=
.
=
.
Тогда
=
=
=
=
Для вычисления интеграла достаточно 5-ть первых членов ряда (6-ой член ряде не провосходит величины 0,001):
.
Задания 4. На
промежутке
задана
периодическая
функция
1) постройте график функции;
2) разложите функцию в ряд Фурье;
3) постройте график суммы ряда Фурье.
100.
Решение.
Разложим функцию
в ряд Фурье
,
где
,
.
Вычислим коэффициенты
ряда Фурье
,
.
=
=
=
=
=
=
=
.
=
=
=
=
=
.
Тогда разложение функции в ряд Фурье имеет вид:
.
Задание 5. Разложите
функцию
в ряд Лорана в окрестности точки
110.
Решение.
.
Функция f(z) имеет в точке z = 2 полюс первого порядка, поэтому можно избавиться от этой особенности умножением этой функции на z – 2. Полученную таким образом функцию g(z) = (z – 2) f(z) мы разложим в ряд Тейлора по степеням z – 2.
.
Тогда
Задание 6. Вычислите заданный интеграл при помощи вычетов.
120.
Решение.
Контур интегрирования
представляет собой окружность радиуса
3 с центром в точке
.
Внутри контура
находятся две изолированные особые
точки подынтегральной функции
и
– простые полюса.
=
.
=
=
=
=
0.
=
=
=
=
.
=
=
.
Задание 7. Найдите
изображение заданного оригинала
130.
Решение.
.
По таблице изображений находим.
