ВМ_КР6

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет заочного и дистанционного обучения

Специальность: Искусственный Интеллект

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ №6

Вариант №5

№1

285. Найти неопределенные интегралы (результаты в случаях “а” и “б” проверить дифференцированием).

а)      б)      в)

г)      д)

Решение

a)

= –

Сделаем замену t = 2x, тогда

– = – = – + С

Рассмотрим :

Сделаем замену u = 1 – t², тогда du = -2t dt, dt =

Следовательно

= = = + C

Произведем обратную замену:

+ C = + C

Вернемся к – = + + C

Произведем обратную замену:

+ = + + C

Проверим результат:

= =

б)      

Сделаем замену u = x, dv = . Тогда du = dx. Найдем v:

v = = = = = =

= + С

Используем интегрирование по частям:

= = = + С

Найдем :

= = = = + С

Вернемся к

= + С = + С

Проверим результат:

= =

= = =

= = =

в)

Воспользуемся интегрированием рациональных функций:

- правильная рациональная дробь.

Тк то

= =

Приведем правую часть к общему знаменателю ():

=

=

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

Откуда С = 0, D = , A = , B =

Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем его:

= =

= =

=

г)      

Используем подстановку , тогда ,

Следовательно

Выделив целую часть, получим:

= +C

Сделаем обратную подстановку:

+C= +C

д)

Используем подстановку , тогда ,

Следовательно

Сделав обратную подстановку, получим:

=

№2

295. Вычислить определенный интеграл. Окончательный результат представить в виде приближенного числа, произведя вычисление с округлением до третьего десятичного знака.

Решение

Пусть u = x², тогда du = 2x dx =>

= = = = (–) = ( 0,785 – 0)

= 0,393

№3

305. Вычислить интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Решение

Поделим отрезок на десять равных частей:

Вычислим значения функции:

= y(0) = 1,414 = y() = 1,732

= y(0,157) =1,468 = y(0,314) =1,519

= y (0,471)=1,566 = y (0,628) =1,609

= y (0,785)=1,645 = y(0,942) =1,676

= y(1,099) =1,700 = y(1,256)= 1,718

= y (1,413)=1,728

Подставим полученные значения в формулу Симпсона:

0,052*(3,146+32,428+13,044) = 2,528136

№4

315. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение

= =0,26

Интеграл сходится.

№5

325. Вычислить площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой r = 5 sin 3

Решение

Найдем область определения D(p):

При k = 0: и радиус вектор описывает один лепесток

При

Площадь всей фигуры будет равна 2*3 площади половины лепестка:

№6

335. Найти координаты центра тяжести однородной дуги одной арки циклоиды

Решение

Координаты центра тяжести дуги равны , где равно верхнему пределу интегрирования при котором длина дуги равна .

Найдем длину дуги:

L =

=

Т.к. функция периодична(), то

= = L

Также функция четная, следовательно

=2 = L

Следовательно

Найдем x и y центра тяжести:

Координаты центра тяжести однородной дуги одной арки циклоиды (3.14;2)