ВМ. Контрольная 1, вариант 2

Контрольная работа №1

Вариант 2

Даны четыре вектора в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение

Составим определитель матрицы из координат векторов , ,

и вычислим его:

Так как Δ≠0, то векторы , , линейно независимы и образуют базис.

Получим систему уравнений

Решим систему методом Гаусса:

Полученная матрица эквивалента системе

γ=

β=

α=

Таким образом,

Ответ:

№12

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃; Сделать чертеж.

А₁ (3,3,9) А₂ (6,9,1) А₃ (1,7,3) А₄ (8,5,8)

Решение

1) Найдем длину ребра А₁А₂ по формуле

2) Косинус угла между ребрами А₁А₂ и А₁А₄:

,

=(x₂–x₁; y₂–y₁; z₂–z₁)=(6-3;9-3;1-9)=(3;6;-8),

=(x₄–x₁; y₄–y₁; z₄–z₁)= (8-3;5-3;8-9)=(5;2;-1)

3) ) Синус угла между прямой А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А₃:

, где – направляющий вектор прямой, – нормальный вектор к плоскости.

(5;2;-1)

=(x₃–x₁; y₃–y₁; z₃–z₁)=(1-3;7-3;3-9)=(-2;4;-6),

=(-4;34;24)

4) Найдем площадь грани А₁А₂А₃

S=

S= ед²

5) Объем пирамиды найдем по формуле

V=

V=ед³

6) Каноническое уравнение прямой А₁А₂

7) Найдем уравнение плоскости А₁А₂А₃

,

где (А,В,С)–нормальный вектор к плоскости А₁А₂А₃,

А₁(x₁,y₁,z₁)– координаты точки, через которую проходит плоскость.

Получим

-4(x-3)+34(y-3)+24(z-9)=0

2x-17y-12z+153=0 –общее уравнение плоскости А₁А₂А₃

8) Найдем уравнение высоты, опущенной из точки А₄, на грань А₁А₂А₃ по формуле

_,

так как нормальный вектор (А,В,С) к плоскости А₁А₂А₃ является направляющим вектором высоты. Получим

– каноническое уравнение прямой.

Сделаем чертеж:

Ответ: 1)А₁А₂=

4) S= ед²

5) V=4ед³

6)

7) 2х-17y-12z+153=0

8)

№22

Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(3,0), чем от оси ординат.

Решение

Пусть М(x,y)– произвольная точка искомой кривой. Сделаем чертеж:

Тогда

АМ=

МК=

По условию АМ=2МК

Тогда составим уравнение:

Откуда

Приведем уравнение линии к каноническому виду

–каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (-1;0) и полуосями a=2, b=

Ответ:

№32

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение

Составим расширенную матрицу системы уравнений и преобразуем ее к треугольному виду

=> =3

Так как rang A=rang=3 и n=3 (число неизвестных), то система уравнений совместна и имеет единственное решение.

1. Решим систему методом Гаусса. Полученная матрица эквивалентна следующей системе уравнений:

_, откуда

x₃=0

x₂=

x₁=

2. Решим систему уравнений средствами матричного исчисления. Данная система эквивалентна матричному уравнению AX=B , откуда Х=,

где А=, Х=, В=

А^-1– матрица, обратная матрице к А

, где А_ij – алгебраические дополнения к элементам матрицы А.

А₁₁=

А₁₂=

А₁₃=

А₂₁=

А₂₂=

А₂₃=

А₃₁=

А₃₂=

А₃₃=

Х=,

откуда х₁=3, х₂=-1, х₃=0

Ответ: х₁=3, х₂=-1, х₃=0

№42

Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений

Решение

Найдем ранг матрицы системы уравнений при помощи элементарных преобразований:

=> r_A=2

Значит, система имеет ненулевые решения, размерность пространства которых равна n-r=4-2=2, где n - число неизвестных.

Полученная матрица эквивалента следующей системе

_,

откуда

- общее решение системы.

Представим его в матричном виде

X=, где х₃ и х₄.

Вектор-столбцы и образуют базис пространства решений системы.

Обозначим х₃=С₁ , х₄=С₂, где С₁ иС₂ –произвольные постоянные. Тогда решение системы в векторном виде примет вид

Ответ: n-r=2 – размерность пространства решений,

, – базис пространства решений.

№52

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Решение

Составим характеристическое уравнение матрицы :

λ₁=4, λ₂=λ₃=-1 – собственные значения матрицы А

Найдем собственные векторы, соответствующие данным собственным значениям, из системы

При λ₁=4 получим

=> x₁=0, x₂=0

при х₃=1, получим собственный вектор =(0;0;1)^Т

При λ₁=λ₂=-1 получим

при х₂=5, получим собственные векторы ==(5;5;-8)^Т

Ответ: λ₁=4, λ₂=λ₃=-1 – собственные значения,

=(0;0;1)^Т==(5;5;-8)^Т( с точностью до постоянного множителя) – собственные векторы.

№62

Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.

Решение

Матрица данной квадратичной формы имеет вид:

А=

Решим характеристическое уравнение:

(4-λ) (3-λ)-6=0

λ₁=1, λ₂=6 – собственные значения матрицы А.

Найдем собственные векторы из системы

При λ₁=1 получим

=> x₂=x₁

При x₁= 2

При λ₂=6 получим

=> x₁=x₂

При x₂= 2 получим

Нормируем собственные векторы:

Составим матрицу перехода от старого базиса к новому:

T=

Выполняя преобразование

, получим

x=

y=

Подставив данные формулы в исходное уравнение кривой, получим:

Получим

Приведем уравнение к каноническому виду

– каноническое уравнение эллипса с полуосями а=, b=2.

Ответ: