11. Определение и свойства дисперсии.

Дисперсия есть «среднее значение квадрата отклонения случайной величины от своего среднего». Посмотрим, за что эта величина отвечает.

Пусть случайная величина принимает значения с равными вероятностями, а случайная величина — значения с равными вероятностями. Тогда , поэтому , . Говорят, что дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Свойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания.

1.

 Дисперсия может быть вычислена по формуле: .

2.

 При умножении случайной величины на постоянную дисперсия увеличивается в раз: .

3.

 — Дисперсия всегда неотрицательна: .

 — Дисперсия обращается в нуль лишь для вырожденного распределения: если , то    п. н., и наоборот.

4.

 Дисперсия не зависит от сдвига случайной величины на постоянную:  .

5.

  Если и независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: .

6.

 Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины от точек вещественной прямой есть среднеквадратическое отклонение от своего математического ожидания: .

12. Определение и свойства коэффициента корреляции.

Коэффициентом корреляции случайных величин и , дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Коэффициент корреляции обладает свойствами:

1)

 если и независимы, то ;

2)

 всегда ;

3)

  тогда и только тогда, когда и п. н. линейно связаны, т.е. существуют числа и такие, что .

[Сокращение «п.н.» читается как «почти наверное» и означает «с вероятностью 1»]

13. Определение сходимости по вероятности. Неравенства Маркова и Чебышёва.

Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине при , и пишут: , если для любого

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(неравенство Маркова). Если , то для любого

(обобщённое неравенство Чебышёва). Пусть функция не убывает и неотрицательна на  . Если , то для любого

14. Закон больших чисел в форме Чебышёва (с док-вом). Закон больших чисел Бернулли.

Для любой последовательности попарно независимых и одинаково распределённых случайных величин с конечным вторым моментом имеет место сходимость:

Доказательство.

Обозначим через сумму первых случайных величин. Из линейности математического ожидания получим:

Пусть . Воспользуемся неравенством Чебышёва:

так как . Заметим, что дисперсия суммы превратилась в сумму дисперсий в силу попарной независимости слагаемых, из-за которой все ковариации обратились в нуль при . Сумма же дисперсий слагаемых равняется из-за их одинаковой распределённости.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть событие может произойти в любом из независимых испытаний с одной и той же вероятностью , и пусть — число осуществлений события в испытаниях. Тогда . При этом для любого