Нормальное распределение

Говорят, что имеет нормальное (гауссовское⁽¹⁾) распределение с параметрами и , где , , и пишут: , если имеет следующую плотность распределения:

Убедимся, что является плотностью распределения. Так как для всех , то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2):

где через обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона⁽²⁾)

Нормальное распределение с параметрами и называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения равна .

Ввиду особой роли нормального распределения в теории вероятностей (мы ещё узнаем о ней) существует даже специальное обозначение для функции распределения нормального закона . Первообразная функции не может быть выражена через элементарные функции. Поэтому функцию можно записать лишь в виде интеграла:

Функция табулирована, т.е. её значения при различных вещественных вычислены. Их можно найти в соответствующих таблицах.

8. Свойства нормального распределения (в том числе вычисление его математического ожидания и дисперсии).

Свойство 1. Для любого справедливо соотношение:

Следствие 1. Если , то .

Следствие 2. Если , то  

Свойство 2.    ,   

Свойство 3. Если , то для любого

Свойство 4   (правило трех сигм). Если , то

.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Стандартное нормальное распределение :

Математическое ожидание этого распределения существует в силу конечности :

Математическое ожидание равно

так как под сходящимся интегралом стоит нечётная функция. Далее,

Поэтому

Нормальное распределение :

Если , то .

,

9. Определения независимости случайных величин.

Определение 1. Случайные величины называют независимыми (в совокупности), если для любого набора борелевских множеств , ...,  имеет место равенство:

Определение 2. Случайные величины называют попарно независимыми, если независимы любые две из них.

Определение 3. Случайные величины независимы (в совокупности), если для любых имеет место равенство:

Определение 4. Случайные величины с дискретным распределением независимы (в совокупности), если для любых чисел  имеет место равенство:

Определение 5. Случайные величины с абсолютно непрерывным совместным распределением независимы (в совокупности), если плотность совместного распределения равна произведению плотностей случайных величин , т.е. для любых имеет место равенство:

.

10. Определение и свойства математического ожидания.

Определение 1. Математическим ожиданием (средним значением, первым моментом) случайной величины с дискретным распределением, задаваемым таблицей , где , называется число

если данный ряд абсолютно сходится, т.е. если . В противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.

Определение 2. Математическим ожиданием (средним значением, первым моментом) случайной величины с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения называется число

если этот интеграл абсолютно сходится, т.е. если  

В противном случае математическое ожидание не существует.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.

1.

 Для произвольной борелевской функции

2.

 Математическое ожидание постоянной равно ей самой: .

3.

 Постоянную можно вынести за знак математического ожидания:

4.

 Математическое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их математических ожиданий, если только эти математические ожидания существуют:

5.

 Если п.н., т.е. если , то .

6.

 Если п.н., и при этом , то п.н., т.е. .

7.

 Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: если и независимы и их математические ожидания существуют, то