Билет 53. Линейный оператор в нормированных пространствах. Непрерывность и ограниченность. Норма линейного оператора.

Пусть V, W линейные нормированные пространства с нормами ||||v, ||||w. Линейный оператор называется непрерывным в точке, если для любой последовательности из первого пространства, сходящейся к данной точке по норме первого пространства, последовательность значений, сходящихся по второй норме во втором пространстве сходятся к значению в точке (||x(k) – x||v  0  ||Ax(k) – Ax||  0). Линейный оператор называется ограниченным, если существует такая константа c, ||Ax||w <=c||x||v.

Т В конечномерных нормированных пространствах любой линейный оператор ограничен

||Ax|| <= Add(i =1, n) |xi|||Aei|| <= (Add(i =1, n) ||Aei||^2)^1/2(Add(i = 1, n)|xi|^2) = M||x||2 (неравенство Коши-Буняковского), а любая норма эквивалентна евклидовой.

Следствие: в конечномерных пространствах любой оператор непрерывен (||Ax(k) – Ax||w = =||A(x(k) – x)|| < c||x(k) – x||v).

Линейное пространство L(V, W) можно сделать нормированным, введя норму оператора. Норма называется мультипликативной, если ||AB|| <=||A||||B|| для любых операторов, для которых определена операция умножения. Свойство называется свойством мультипликативности нормы. Норма называется согласованной, если ||Ax||w <= ||A||||x||v.

Т Собственное значение оператора не превосходит по абсолютной величине любую его согласованную норму (||Ax|| = l||x||<=||A||||x||).

Из теоремы об ограниченности оператора следует существование такой константы, что ||Ax||/||x|| <= c, x!= 0 что означает ограниченность сверху множества ||Ax||/||x||. Положим эту точную верхнюю грань за норму (m(A)= sup ||Ax||/||x||)

Т Отображение m(A) является мультипликативной, согласованной нормой (проверка на то, что является нормой – элементарно, согласование очевидно, в свойстве мультипликативности используем согласование получим, просто расписав норму произведения и заменяя на большее). Эта норма называется подчиненной.

Норму обычно берут как супремум по всем векторам, норма которых 1, те ||A|| = sup{||x||=1}||Ax||

Спектральная норма: норма линейного оператора, порожденная евклидовыми нормами вектора называется спектральной нормой. ||A||2 = sup{||x||E=1}||Ax|| = =sup{(x,x)=1}sqrt((Ax,Ax)).

Т Спектральная норма линейного оператора равна максимальному сингулярному числу этого оператора.

Пусть n = dimV, m= dimW, e1,…,en – правый сингулярный базис, а p>=…>=ps – сингулярные числа оператора, x = Add(i=1 n)xiei. ps+1=…=pn=0, если s < n. Тогда ||Ax||E2 = (Ax, Ax) = (A*Ax, x) = (Add(i=1 n)pi^2xiei, Add(j =1,n)xjej)=Add(i=1,n)pi^2|xi|^2 <= p1^2Add(i=1, n)|xi|^2  ||A||2 = p1.

Следствие: спектральная норма нормального оператора равна по абсолютной величине максимального по модулю собственного значения этого оператора.

Т Сингулярные числа линейного оператора в евклидовом (унитарном) пространстве не изменяются при умножении оператора на ортогональный(унитарный) оператор.

Док-во B = UAV, U*U=I, V*V=I  B*B= V*A*AV  матрицы операторов B*B и A*A подобны и их собственные значения совпадают.

Следствие: Спектральная норма линейного оператора не изменяется при умножении оператора на ортогональный (унитарный) оператор.