Билет 51. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве.

Обозначим единичную сферу по естественной норме с центром в 0 S2 (||x|| = 1).

Т (о компактности единичной сферы) Из любой последовательности точек единичной сферы можно выделить подпоследовательность, сходящуюся по норме к некоторому вектору сферы (координаты ограничены, по теоремы Больцано-Вейерштрасса для функции многих переменных). Следствие: единичная сфера замкнута по стандартной норме. Две нормы называются эквивалентными, если существуют такие положительные числа, что для любого вектора выполняется ||x||* <= c1||x||**, ||x||** <= c2||x||*.

Т В конечномерном пространстве любые две нормы эквиваленты.

Достаточно показать эквивалентность любой нормы евклидовой, те c2||x||2 <= ||x||<=c1||x||2. Для нулевого вектора верно. Рассмотрим ненулевой вектор, тогда x/||x||2 принадлежит единичной сфере. Из теоремы о непрерывности нормы следует, что функция нормы f(x) = ||x|| непрерывна относительно евклидовой. Согласно теореме Вейерщтрасса она достигает на этой сфере точных верхней и нижней граней, поэтому существует ||x’’|| <= ||x||/||x||2 <= ||x’||, c1 = ||x’||, c2 = ||x’’||.

Следствие: из сходимости по одной из норм в конечномерном линейном пространстве, следует сходимость по любой из норм, сходимость по бесконечной норме называют покоординатной сходимостью

Следствие: В конечномерном пространстве единичная сфера является компактом по любой из норм.

Билет 52. Задача о наилучшем приближении в конечномерном нормированном пространстве.

L – подпространство метрического пространства, f – фиксированный элемент пространства, то p(f, L) = inf{x из L}p(f, x) называется расстоянием (отклонением) элемента от множества. Если существует такой вектор x0 из L, p(f, L) = p(f, x), то элемент x0 называется элементом наилучшего приближения элемента f на множестве L.

Т Если в нормированном пространстве есть конечномерное подпространство, то для любого вектора пространства существует вектор наилучшего приближения.

Док-во: покажем, что для любого вектора f пространства V, существует вектор x0 из L, такой, что ||f – x0|| = inf{x из L}||f-x||. Рассмотрим разложение произвольного x из L по базису подпространства, распишем разность ||f-x|| = ||f-Add(k=1, n)lkek||. Надо найти такие числа l1, …, ln, так, чтобы u(l1,…,ln)=||f – Add(k =1, n)lkek|| приняла минимум. Функция непрерывна, так как (распосать разность в двух точках, разность норм меньше нормы разности, сумма норм базисных векторов – константа, ввсести ограничение через максимальное смещение). Обозначим нижнюю грань мн-ва значений u(l1,…,ln) = q (расстояние больше нуля – есть ограничение снизу). Рассмотрим функцию

w = ||Add(k =1, n)lkek||, эта функция на единичной евклидовой сфере (Add(k=1,n)|lk|^2) неотрицательна, непрерывна  по теореме Вейерштрасса достигает точной нижней грани, обозначим o (o > 0). Обозначим за R выражение (1/o)(p + 1 +||f||), и рассмотрим все векторы (l1,…,lk) находящиеся от 0-вектора дальше, чем на R ((Add(k=1, n)|lk|^2)^1/2 > R). Норма разности больше разности норм  u(l1,…,ln) >= ||Add(k=1, n)lkek|| - ||f|| = вынесем норму вектора l1,…,ln за первую норму, и получим ограничение снизу

u(l1,…,ln) >= o(Add(k=1, n)|lk|^2) - ||f||> p+1, те среди векторов за пределами сферы, радиуса R нет наименьшего значения, функция непрерывна внутри замкнутого шара – значит по теореме Вейерштрасса достигает своего наименьшего значения.

Замечание: в конечномерном пр-ве наиболее естественно искать проекцию.