Билет 50. Длина вектора. Тождество параллелограмма и критерий евклидовости нормы.

В евклидовом и унитарном пространствах длиной вектора называют значение корня из его скалярного произведения. Из аксиом скалярного произведения:

1) любой вектор имеет длину

2)коэффициент можно выносить

Неравенство Коши-Буняковского можно переписать в виде |(x,y)| <= |x||y|.

Векторы единичной длины называются нормированными. Любой ненулевой вектор можно нормировать.

Т В евклидовом (унитарном) пространстве для любых векторов имеют место неравенства:

||x|-|y|| <= |x + y| <= |x| + |y| (неравенства треугольника) ( |x+y|^2 = (x+y, x+y) = (x,x) + (x, y) + (y, x) + (y, y), с учетом неравенств треугольника для чисел и неравенства Коши-Буняковского |x + y| ^ 2 <= |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = (|x| +|y|)^2, |x + y| ^ 2 >= |x|^2 – 2|x||y| + |y|^2).

Тождество |x+y|^2 + |x-y|^2 = 2(|x|^2 + 2|y|^2) – тождество параллелограмма. Углом между векторами называется такой угол от 0 до пи, что cosf = (x, y)/|x||y|.

Множество называется метрическим пространством, если p : M x M  R, каждой упорядоченной паре ставится в соответствие число, такое что

1) p(x, y) >=0, p(x,y) = 0  x = y

2) p(x, y) = p(y, x)

3) p(x, z) <= p(x, y) + p(y, z)

Число называется расстояниям, отображение – метрикой, а 1-3 аксиомы метрики. Расстояниями между двумя множествами метрического пространства называется наименьшее расстояние между любыми векторами из этих двух множеств (каждый из своего)

Т В линейном пространстве отображение VxV  R, определенное равенством

р(x, y) = ||x - y|| является метрикой (аксиомы метрики вытекают из аксиом нормы).

Т Метрика р в линейном пространстве (вещественном или комплексном) определяет норму тогда и только тогда, когда для любых x, y, z из V, и a из R (C)

1) р(x, y) = р(x + z, y +z) (инвариантность относительно сдвига)

2) р(ax, ay) = |a|р(x, y) (инвариантность относительно гомометрии)

Доказательство. Необходимость очевидна, достаточность: положим ||x|| = p(x, 0) проверить аксиомы (использовать сдвиг).

Рассмотрим метрическое пространство. Последовательность точек называется сходящейся к точке, если lim<kinf>p(x(k), a) = 0, последовательность называется фундаментальной, если для сколь угодно маленького положительного числа существует такой номер последовательности, что для любых двух элементов последовательности, с номерами больше выбранного, верно, что расстояние между ними меньше данного положительного числа. Метрическое пространство называется полным если любая фундаментальная последовательность в нем сходится. Понятия отрытого шара, замкнутого шара, сферы, ограниченного множества, замкнутого множества ( предел принадлежит множеству), компактного ( из любой последовательности можно выделить сходящуюся), оперделение непрерывности вещественной функции. Непрерывность вещественной функции называют непрерывностью относительно нормы, те ||x(k) –a||0, kinf, f(x(k)) f(a).

Норму ||x||2 называют евклидовой. В евклидовом пространстве норма может быть введена как длина (это и есть евклидова норма).

Т В конечномерном пространстве любая норма непрерывна относительно евклидовой (из утверждения теоремы следует, что ||x(k) – a||2  0  ||x(k)|| ||a||, выбираем базис ||x|| <= Add(k =1 , n) |xk|||ek|| <= {неравенство Коши-Буняковского} <=

((Add(k =1, n)|xk|^2)^(1/2))(Add(k = 1, n)||ek||^2)^1/2 = c||x||2, с > 0  ||x|| <= c||x||2  ||x(k) –a|| <= c||x(k) –a||2  ||xk – a||  0, ||x(k)||||a||, kinf

Про евклидову норму говорят, что она порождается скалярным проиведением.

Т Норма в линейном пространстве порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда для неё выполнено равенство ||x + y||^2 + ||x-y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2) (необходимость – выполнено тождество параллелограмма для порожденной скалярным произведением длинны, достаточность: построим скалярное произведение: (x, y) = ½(||x + y||^2 - ||x||^2 - ||y||^2), аксиомы 1, 4 – очевидны, покажем аксиому 3 (||x + y + z||^2 - ||x +y||^2 - ||z||^2) = (||x + z||^2 - ||x||^2 - ||z||^2) + (||y + z||^2 - ||y||^2 - ||z||^2)  ||x + y + z||^2 - ||x + y||^2= вывести, что 2||x + y + z||^2 + 2||z||^2=||x + y||^2 - ||x – y||^2, применим равенство параллелограмма к x + y + 2z, (x + y + z) +z ; (x + z) + (y + z); аксиома два для натуральных из аксиомы 3, для 0 из формы, для -1 из формы и параллелограмма, для рационального

(x, y) = ((n/n)x, y) = n (1/nx, y), ((m/n)x, y) = 1/n(mx, y), произвольное число представим как предел последовательности рациональных чисел и из непрерывности нормы следует непрерывность функции (ax, y) поэтому можем переходить к пределу, в комплексном пространстве для нормы порожденной скалярным произведением имеем ||x + y||^2 = (x, x) + (y, y) + !(x, y) + (y, y) = ||x|| + ||y|| + 2Re(x, y), ||x + iy||^2 = (x, x) + i!(x, y) – i(x, y) + (y, y) = =||x||^2 + ||iy||^2 + 2Im(x,y), значит скалярное произведение можно строить по правилу Re(x,y) = (||x + y||^2 - ||x||^2 - ||y||^2)/2; Im(x, y) = (||x + iy||^2 - ||x||^2 - ||y||^2).