2. Методы численного интегрирования

Дано уравнение

. (2.1)

Т ребуется найти решение дифференциального уравнения на отрезке , при начальном значении для случая, когда f(x,y) – аналитическая функция.

Разобьем интервал на n участков длиной h. Тогда

. (2.2)

Если на интервале [0,h] с достаточной точностью можно считать, что , то интеграл можно заменить выражением . Тогда .

Погрешность округления имеет порядок O(h²). Отбрасывая O(h²) получаем формулу Эйлера

(2.3)

y

х

Рис.2.1 График

Для получения более точной расчетной формулы нужно точнее аппроксимировать интеграл. Воспользуемся формулой трапеции:

Соответствующая этому уравнению расчетная формула имеет вид

Обычно это уравнение неразрешимо явно относительно , поэтому целесообразно заменить прогнозируемой величиной полученной по формуле Эйлера. Тогда

Решение уравнения (2.2) методом Рунге-Кутта ищется в виде

где

Коэффициенты определяются из условия равенства нулю ошибки аппроксимации и q ее производных в начале каждого интервала i.

Ошибка аппроксимации  Условия определения коэффициентов запишутся в виде

(0) =  (0) =  (0) = … =^s = 0

Для случая q = 4 и s = 4

,

В этом случае исходная функция f аппроксимируется полиномом третьей степени, что для гладких функций обеспечивает значительно более высокую степень приближения, чем метод Эйлера.

3. Методы интерполирования

Постановка задачи. Если из каких-либо соображений известно, что приближающую функцию g(.) целесообразно искать в виде

где  коэффициенты, определяемые из условия совпадения f(x) c g(x) в n точках , то такой способ называется интерполяцией.

Ниже приводятся методы линейной интерполяции полиномом n-й степени

3.1. Интерполяция многочленом Лагранжа

Многочлен Лагранжа имеет вид

,

Для лучшего понимания этой формулы рассмотрим свойство члена:

10