Свободные колебания автономной консервативной системы с одной степенью свободы.
Консервативная система (от лат. conservo — сохраняю) — физическая система, работа неконсервативных сил (силы, работа которых зависит от формы траектории, зависит не только от начальной и конечной точки приложения сил). которой равна нулю и для которой имеет место закон сохранения механической энергии, то есть сумма кинетической энергии и потенциальной энергии системы постоянна. Консервативная колебательная система — это идеализированная колебательная система, в которой запас механической или электромагнитной энергии, или той и другой в совокупности, в процессе совершения колебаний остаётся постоянным. В консервативных колебательных системах нет диссипации энергии. Диссипация энергии — переход части энергии упорядоченных процессов (кинетической энергии движущегося тела, энергии электрического тока и т. д.) в энергию неупорядоченных процессов, в конечном итоге — в тепло. Примером консервативной системы может служить Солнечная система. В земных условиях, где неизбежно наличие сил трения, консервативность системы может быть лишь приближенной.
Для рассмотрения свободных колебаний автономной консервативной системы с одной степенью свободы исследуем решение нижеприведенного уравнения:
,
(5)
где функция f(x) имеет тот же знак, что и х. Из наличия первого интеграла:
(6)
вытекает, что уравнение (5) интегрируется в квадратурах (в интегральном исчислении так называются способы для приближенного вычисления площадей криволинейных фигур по нескольким данным ординатам кривой, или, что то же самое, способы для приближенного вычисления определенного интеграла по данным значениям подынтегральной функции для нескольких частных значений х в пределах интеграла).
Так
как левая часть (6) имеет при
минимум,
то при достаточно малых начальных
значениях x и
решения
будут периодическими. Для несимметричной
функции f(x) амплитуды налево
и направо
будут различными, и так как в момент
достижения вышеупомянутых амплитуд
будет
,
то из (6) следует, что связь между ними
такова:
(7)
Если
функция f(x) нечётная, то
.
Решения уравнения (5) наглядно изображаются на фазовой плоскости, для чего надо перейти к эквивалентной системе уравнений первого порядка:
(8)
Так как система (8) каноническая, то при сдвиге по траекториям площади сохраняются, а потому притягиваются и отталкивающиеся точки покоя (т.е. узлы и фокусы) или циклы невозможны. При построении фазового портрета системы (8) можно заметить, что все траектории в верхней полуплоскости идут направо, а в нижней – налево; ось х пересекается траекториями ортогонально, за исключением точек покоя, которые могут располагаться только на этой оси.