1. Нелинейные колебания.

Введём понятие нелинейных систем. Нелинейные системы - колебательные системы, свойства которых зависят от происходящих в них процессов. Колебания таких систем описываются нелинейными уравнениями. Нелинейными являются механические системы, в которых модули упругости тел зависят от деформаций последних или коэффициента трения между поверхностями тел зависит от относительной скорости этих тел (скорости скольжения), или, наконец, массы тел зависят от их скоростей; электрические системы, содержащие сегнетоэлектрики, диэлектрическая проницаемость которых зависит от напряжённости электрического поля, и т.д. Указанные зависимости в механических системах приводят соответственно либо к нелинейности связей между напряжениями и деформациями (нарушению закона Гука), либо к нелинейной зависимости сил трения от скорости скольжения, либо, наконец, к нелинейности связи между действующей на тело силой и сообщаемым ему ускорением (если при этом скорость тела меняется по величине). Аналогично в электрических системах оказываются нелинейными: связь между электрическими зарядами и напряжённостью создаваемого ими поля, связь между напряжением на концах проводника и силой протекающего по нему тока (нарушение закона Ома), наконец, связь между силой тока и напряжённостью создаваемого им магнитного поля (магнитной индукцией) в магнетике и др. Каждая из этих нелинейных связей приводит к тому, что дифференциальные уравнения, описывающие поведение нелинейных систем, оказываются нелинейными. Отсюда и произошло название нелинейных систем. Нелинейные колебания – это колебания, протекающие в нелинейных системах.

Все физические системы, строго говоря, являются нелинейными. Поведение нелинейных систем принципиально отлично от поведения линейных систем

Рассмотрим уравнение свободных колебаний систем с одной степенью свободы. Сте́пени свобо́ды — это характеристики движения механической системы. Число степеней свободы определяет минимальное количество независимых переменных (обобщённых координат), необходимых для полного описания движения механической системы. Также число степеней свободы равно полному числу независимых уравнений, полностью описывающих динамику системы.

Уравнение свободных колебаний с одной степенью свободы имеет вид:

, (1)

где и , коэффициент затухания и частота соответственно, - параметры системы (зависят от коэффициентов трения и упругости и массы осциллятора - системы, совершающей колебания, то есть показатели которой периодически повторяются во времени).

Общее решение уравнения (1) легко находится по методу Эйлера:

( ) (2)

если - это затухающие колебания - колебания, энергия которых уменьшается с течением времени; если - это апериодическое затухание, а соответствующее движение называется лимитационным. Переход от колебательной системы к апериодической можно продемонстрировать при помощи груза на пружине; помещая его в среду с различной вязкостью

Если затухание отсутствует, т.е. h=0, то решение (2) имеет простой вид:

(3)

Здесь частота колебаний не зависит от амплитуды А.

Уравнение вынужденных колебаний для гармонического внешнего воздействия имеет вид:

(4)

где А и - амплитуда и частота внешнего воздействия.

При совпадении частоты внешнего воздействия с частотой собственной получаются колебания, амплитуда которых при неограниченно возрастает по линейному закону – наступает резонанс.

Можно сказать, что при этом коэффициент усиления обращается в бесконечность (рис. 1)

Рис. 1

Нелинейные колебания обладают рядом специфических особенностей, проявляющихся для систем с одной степенью свободы. Невозможность суперпозиции решений, в частности умножение решения на константу, влечёт за собой неизохорность свободных колебаний автономной консервативной системы, т.е. зависимость частоты таких колебаний от их амплитуды.

Так как у системы нет собственной частоты, то в случае вынужденных колебаний нелинейной системы отсутствует явление резонанса. С другой стороны, в такой системе возможно новое явление, такое, как – вынужденные колебания, период которых кратен периоду возбуждающего действия – губгармонические колебания. Параметрические колебания неавтономной нелинейной системы, вызванные периодическим изменением её параметров, из-за отсутствия суперпозиции также происходят на определённых амплитудах; если эта амплитуда бесконечная, в системе будет параметрический резонанс. Для систем с несколькими степенями свободы нелинейный случай осложнён невозможностью перехода к независимым колебаниям нормальных координат.