25. Понятие квадрируемости и площади плоской фигуры. Критерий квадрируемости. Свойства квадрируемых фигур.

Каждый многоугольник M имеет площадь S(_M) .

Многоугольник – это объединение конечного множества треугольников.

Треугольник – это множество точек в плоскости ограниченой трехзвенной ломаной ABCA

Свойства

1. S(ед.кв)=1

2. М₁ М₂ => S(M₁) ≤ S(M₂)

3. M = M₁ U M₂ : ∩ = Ø } => S(M) = S(M₁) + S(M₂)

4. S(M) є [0;+∞)

Плоскасть Ф считается ограниченной

М (Ф) – Входящий в Ф – (В)

(Ф) М – Объемлющей (О)

(В) (Ф) (О) => S(В) ≤ S(О)

{S(B): (В) (Ф)} ограничено сверху => существует sup{S(B): (B) (Ф)} = S(Ф) нижняя площадь (Ф)

(Ф) = inf{S(O): Ф (О)} – верхняя площадь фигуры (Ф)

S(B) ≤ (Ф) ≤ (Ф) ≤ S(O)

Определен: Фигура называется квадрируемой, если её верхняя и нижняя площади совпадают при этом их общее значение называется площадью этой фигуры.

Критерий квадрируемости – плоская фигура (Ф) квадрируема тогда и только тогда, когда существует последовательность входящих многоугольников (В) и полследовательность (О) таких, что S(B)→S; S(О)→S

26. Квадрируемость и вычисление площади криволинейной трапеции. Следствия из основной формулы.

Критерий квадрируемости – плоская фигура (Ф) квадрируема тогда и только тогда, когда существует последовательность входящих многоугольников (В) и полследовательность (О) таких, что S(B)→S; S(О)→S

Теорема: Если функция f непрерывна и неотрицательна на [a;b] то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема => существует S(f) = --- I

Док-во: По условию f непрерывна на [a;b] => интеграл I от неё существует, разобьем отрезок [a;b] на n-равных частей т.е. Дробл. на n равных частей => ; – наименьшее значение функции;

(B_n) – фигура, образованная из прямоугольников у которых i-ая высота равняется , тогда эта фигура будет многоугольником, причем входящим, т.е.

Аналогично, если мы в качестве будем выбирать ту, которая будет наибольшим значением на i-ом отрезке. по критерию кв. I=S(Ф)

Замечание 1. Если f на [a;b] кусочно непрерывна и ограничена, то вывод остается прежним.

Если фигура (Ф) может быть получена за счет объединения и вычитания конечного количества более простых квадрируемых фигур, то она тоже квадрируема.

27. Понятие кубируемости и объема тел. Первый критерий кубируемости. Объем прямого кругового цилиндра.

(Т) – ограниченное тело в R³

(M₁)=(B), (M₂)=(O)

Определение. (Т) – называется кубируемой, если его нижний объем равен верхнему объему

Критерий кубируемости

(T) – кубируема <=> ,

Факт. Прямой круговой цилиндр кубируем (V_цил)= r²h

________________________ 28. Второй критерий кубируемости: тело f кубируемло ⇔когда его границы сигма от f есть множество нулевого объема. Свойства кубируемых тел: 1) Объем v(f) любого кубируемого тела f неотрицателен. 2) Пусть f1 и f2 кубируемые тела. Если f1 содержит f2, то v(f1)≤v(f2). 3) Если тело f=f1 ∪ f2, где f1,f2 кубируемые тела, не имеющие общих внутренних точек, то f – кубируемое тело и v(f)=v(f1)+v(f2). 4) Если f1 и f2 – кубируемые тела и f=f1 ∩ f2 , то f –кубируемое тело.

_________________________________