Основные понятия теории множеств. Множества и отношения.
Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.
В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как — «x есть элемент множества A»). Среди производных понятий наиболее важны следующие:
пустое множество;
подмножество и надмножество;
семейство множеств;
пространство (Универсум);
конституента.
Над множествами определены следующие операции:
объединение
(или сумма) (обозначается как
);
разность
(обозначается как
);
дополнение
(обозначается как
или
);
пересечение
(или произведение) (обозначается как
);
симметрическая
разность (обозначается как
).
Для множеств определены следующие бинарные отношения:
отношение
равенства (обозначается как
);
отношение
включения (обозначается как
).
Отношения между множествами
Два множества A и B могут вступать друг с другом в различные отношения.
A включено в B, если каждый элемент множества A принадлежит также и множеству B:
A включает B, если B включено в A:
A равно B, если A и B включены друг в друга:
A строго включено в B, если A включено в B, но не равно ему:
A строго включает B, если B строго включено в A:
A и B не пересекаются, если у них нет общих элементов:
Аи В не
пересекаются
A и B находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам:
А и В
находятся в общем положении
Основные операции над множествами. Соотношения между множествами.
Бинарные операции.
Ниже перечислены основные операции над множествами:
пересечение:
объединение:
Если множества A и B не пересекаются: , то их объединение обозначают также: .
разность (дополнение):
симметрическая разность:
Декартово или прямое произведение:
Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.
Унарные операции
Абсолютное дополнение:
Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (универсальное множество U, которое содержит A):
Относительным же дополнением называется А\В (см.выше):
Мощность множества:
| A |
Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное).
Множество всех подмножеств (булеан):
Обозначение
происходит из того, что
в случае конечных множеств.
Сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения, объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.
Сравнение множеств
Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:
В этом случае
A называется подмножеством B, B —
надмножеством A. Если
и
, то A называется собственным подмножеством
B. Заметим, что
. По определению
.
Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:
Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:
