Билет 14. Метод хорд и его обоснование.

Пусть корень принадлежит некоторому сегменту. Пусть функция имеет на сегменте монотонную и непрерывную производную, сохраняющую знак. При этом производная:

1. не убывает и положительна

2. не возрастает и отрицательна

3. не возрастает и положительна

4. не убывает и отрицательна

Напишем рекуррентную формулу x =F(x) = x – (b-x)f(x)/(f(b) – f(x)) (в точке b доопределим F(b) = b – f(b)/f`(b)) (уравнение f(x) = 0 эквивалентно x = F(x)). За первый x возьмем левую границу сегмента. Надо доказать, что по-ть {xN} сходится к корню c.

У1: Пусть все элементы итерационной последовательности лежат на сегменте, и если эта пос-ть сходится, то решение – предел пос-ти (условие непрерывности по Гейне).

В силу У1Б14 достаточно показать, что все члены пос-ти принадлежат сегменту (по индукции: для a очевидно, k+1 рассмотрев разность двух соседних, используя, что c – корень, заменяем f(xn) = -(f(c) – f(xn)) в числителе, в знаменателе добавляем и вычитаем f(c), применяем к скобкам т Лагранжа, делаем оценку на знаменатель в меньшую сторону, в силу возрастания производной, получим результат).

Последовательность будет неубывающей, так как дробь в правой части неположительна (функция возрастает, значение в x меньше значения в корне).

Билет 15. Метод касательных и его обоснование.

Пусть корень изолирован на сегменте, на котором функция имеет непрерывную и монотонную первую производную, которая сохраняет знак (четыре случая как в Б14). Возьмем за F(x) = x – f(x)/f`(x), за нулевое приближение возьмем правую границу сегмента. В силу У1Б14 достаточно доказать, что все x принадлежат сегменту и что по-ть x сходится. Метод индукции на сегменте от корня, до правой границы сегмента. Записываем разность текущей и следующей итераций, в числителе вычитаем значение в корне, т Лагранжа, производная не убывает  дробь положительна и меньше 1, получаем что требуется. Аналогично предыдущему случаю смотрим, что значение в точке справа от корня больше 0, по-сть ограничена – сходится.

Билет 16. Приближенные методы вычисления определенных интегралов (для одного из методов вывести оценку погрешности).

Число c = (L1f(x1) +..+Lnf(xN))/(L1+…+Ln) – усреднение чисел f(x1),…,f(xN), L1…Ln > 0

Для любых L для непрерывной функции существует точка, значение в которой равно L.

Метод прямоугольников:

Пусть ф-ция (1) имеет на сегменте непрерывную 2ю производную.

Рассмотрим интеграл в симметричных пределах, возьмем формулу среднего значения и, домножив обе части равенства усреднения (подставив точку в качестве правой части) на разность координат концов сегмента, взяв n = 1, a = -c, b = c, x1=0, L1 = 1, понимаем, что нужная точка – 0, и $(-c, c)f(x)dx = 2cf(0) + R. Расписав интеграл через формулу Ньютона-Лейбница получим формулу остатка. Рассматриваем функцию F(x) – F(-x).

Распишем функцию в форме Макларена с остаточным членом в форме Лагранжа:

u(c) = u(0) + u`(0)c/1! + u``(0)c^2/2! + u```(e)c^3/3!, подсчитываем производные, получаем формулу остатка. Разбиваем на 2n частей наш сегмент a = x0 <x2<…<x2n = b, через x(2K +1) обозначаем среднюю точку отрезка.

Тогда итоговая формула: $(a, b)f(x)dx = (b-a)[f(x1) +f(x3) +…f(x2n – 1)]/n + R, где

R = R1 +…+Rn = (b-a)^3[f’’(e1) +…+f``(en)]/24n^3 = (b-a)^3f``(e)/24n^2, a< e< b (формула усреднения)

Метод трапеций:

$(a, b)f(x)dx = (b-a){f(a) + f(b) + 2 ADD(k=1, n-1)f(xK)}/2n + R, где xK – точки, по которым мы делили сегмент

Метод парабол:

$(a, b) f(x)dx = (b-a)[f(a) +f(b) + 2ADD(k=1, n-2)f(x2K) + 4ADD(k=0, n-1)f(x2K+1)]/6n + R,

a = x0<x2<x4<…<x2N=b, x2K+1 = (x2K +x2K+2)/2

Остаточный член в интегральной форме:

Rn+1 = (1/n!)$(a, x)f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(x-t)^ndt

Вывод:

Пусть функция имеет n + 1 производную, рассмотрим Ньютона-Лейбница

f(x) – f(a) = $(a, x)f’(t)dt, заменяя u(t) = f’(t), v(t) = -(x-t), $(a, x)f’(t)dt = - [f’(t)(x-t)]|(a, x) + $(a, x)f’(t)(x-t)dt… далее аналогично. Применяя формулу среднего значения можно показать, что будет ограниченным от x-a в нужной степени.

Функции многих переменных.

Билет 17. Различные множества точек и последовательности n-мерного пространства. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

M-мерное пр-во – множество всевозможных упорядоченных совокупностей m вещественных чисел. Каждая упорядоченная совокупность – точка. Вещественные числа в совокупности – координаты точки. Координатное m-мерное пр-во называется m-мерным евклидовым пр-вом, если для любых двух точек этого пр-ва определено расстояние, определяемое как p (M`, M``) = sqrt((x1’ – x1’’)^2 +…+(xM’ – xM’’)^2) (можно определить скалярное пр-е, норму). Множество всех точек, расстояние от которых до данной строго меньше заданного числа(1), называется открытым m-мерным шаром радиуса (2) с центром в данной точке (определить замкнутый шар, сферу и эпс окрестность как открытый шар). Множество точек, |x1-o1| < d1,…,|xm- om|<dm – m-мерный координатный параллелепипед, с центром в точке O, или прямоугольной окрестностью. Определить внутреннюю, внешнюю и граничные точки. Произвольное открытое мн-во, содержащее точку – окрестность точки. Точка называется предельной, если в любой своей окрестности содержит хотя бы одну точку мн-ва, отличную от неё самой.

Т1 М-во замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки (почти очевидно).

Мн-во ограничено – существует шар, содержащий все его точки.

Непрерывная кривая – мн-во точек, координаты которых представляют собой непрерывные функции одного параметра, определенные на одном сегменте. Точки можно соединить непрерывной кривой – существует такая непрерывная кривая, что эти точки ей принадлежат. Множество связно – любые две точки этого мн-ва можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому мн-ву. Всякое открытое и связное мн-во в пр-ве – область (определить замкнутую область).

Если каждому числу натурального ряда ставиться в соответствие точка евклидового пр-ва, то этот упорядоченный набор точек – последовательность точек. По-ть сходится – существует такая точка (1), что для любого положительного числа существует такое натуральное число, что для любой точки с номером большим выбранного числа будет верно, что расстояние от неё до (1) будет меньше данного положительного числа. Точка (1) – предел.

Л1 – пос-ть сходится тогда и только тогда, когда последовательности ее координат сходятся к соответствующим координатам (достаточность – брать эпс/размерность пр-ва, необходимость – от противного).

По-сть фундаментальна – для любого положительного эпс для любого целого числа p >= 0, существует такой номер пос-ти, что начиная с него расстоянии от n члена до n + p меньше эпс.

Л2 По-ть фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальна каждая из последовательностей координат. (необходимость- записать расстояние, достаточность – выбрать максимальное N и подобрать p).

Критерий Коши последовательность сходится тогда и только тогда, когда фундаментальна (Л2Б17 и Л1Б17).

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число, что расстояние ото всех элементов последовательности до начала координат меньше этого числа.

Если выбрать строго возрастающую по-сть целых положительных чисел, то мы будем называть последовательность точек, им соответствующих, подпоследовательностью исходной пос-ти.

Т Больцана-Вейерштрасса Из любой ограниченной пос-ти точек можно выделить сходящуюся под-пость (последовательности координат ограничены, из т Больцано-Вейерштрасса – можно выделить сходящиеся, выберем общие номера).