Билет 29. Понятие зависимости функций. Функциональные матрицы и их роль при исследовании зависимости функций.

Будем говорить, что функция (1) зависит остальных функций в некоторой области, если сразу для всех точек этой области эта функции (1) равна некоторой функции (2) от значений остальных функций, если (2) некоторая функция определенная и диф-мая в соответствующей области своих аргументов. Функции называются зависимыми в области, если одна из них зависит от остальных. Если для всех функций типа (1) такой функции (2) не существует, то набор функций называется независимым в этой области.

Т1 (достаточное условие независимости функций). Пусть даны m функций k переменных (k>=m). Если якобиан этой функции по каким либо m переменным отличено от 0 в точке (1), то эти функции независимы в некоторой окр точки (1).

Док-во.

1. Не ограничивая общности будем считать, что отличен от 0 якобиан по первым m переменным.

2. От противного. Дифференцируем функцию по любой из переменных, получаем линейную комбинацию строк

Рассматриваем m функций от k переменных, определенных и диф-мых в окр некоторой точки (1), причем все частные производные первого порядка этих функций непрерывны в самой точке. Составим из частных производных матрицу (она называется функциональной) содержащую m строк и k столбцов.

Т2 Пусть у функциональной матрицы некоторый минор r отличен от нуля в точке (1), все миноры большего порядка равны 0. Тогда r функций в указанном миноре независимы в окрестности этой точки, а каждая из остальных функций зависит от указанных r функций.

1. Не ограничивая общности рассмотреть минор, стоящий в верхнем левом углу. Тогда независимость выбранных функций – следствие Т1Б29

2. Остаётся доказать зависимость любой другой функции. Для этого превратим первые функции в неявные для x1,…xr, по обобщению Т1Б27 они разрешатся в некоторой окр.

3. Полученную систему можем продифференцировать по любой переменной начиная с r + 1. При этом заметим, что любая из оставшихся функций представляет собой (из п2) выражение уже от новых переменных. Продифференцируем любую из оставшихся (уже от новых переменных как сложную функцию) по переменной, не вошедшей в первые r.

4. Допишем полученное новое уравнение к системе с производными. Используя прием аналогичный приему в Б28 сводим к выражению определителя. Из равенства якобиана +1 порядка 0, получаем, что в достаточно малой окрестности производные оставшихся функций по переменным, не вошедшим в первые r, равны 0, те они представляют собой бесконечно малые от них функции (в виду диф-сти), а значит являются зависимыми.

Билет 30. Условный экстремум и методы его отыскания.

Будем говорить, что функция при наличии связей имеет в точке (1) условный максимум (минимум), если найдется такая окр этой точки, в пределах которой значение в точке (1) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой окр, удовлетворяющих данным условиям.

u(x1,….xn, y1,…,ym)

F1(x1,…xn, y1,….,ym) = 0

……………………….

Fm(x1,….xn,y1,….,ym) = 0

Будем считать, что функции типа F, диф-мы в некоторой окр (1), якобиан по y отличен от 0. Тогда можно заменить их на систему

y1= q1(x1,…,xm)

………………….

ym = qm(y1,….,ym)

По теореме Б28.

Подставим в исходную функцию.

Необходимое условие:

du=0.

независимо от приращений. Так же можем приравнять диф-лы системы тождеств к 0, откуда получаем равенства на координаты точки.

Метод множителей Лагранжа.

Домножим каждое из продифференцированных мн-в на свой коэффициент Л и сложив все с диф-лом основной функции, получим новое равенство (р) с 0, где левая часть – функция Лагранжа. Выберем коэффициенты Л так, что производные по каждой переменной второго типа равны 0. Подставив в (р) получим новое равенство с 0. Мы предположили независимость переменных 1ого типа, следовательно все производные функции Лагранжа по ним тоже равны 0. Допишем все уравнения на равенство производных 0 к условиям связи получим новую систему, решив которую отыщем координаты точек возможного экстремума. Совпадение точек экстремума у функции Лагранжа и возможных у исходной следует из рассмотрения разности.