40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а;+∞). Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом первого родаи обозначают

Таким образом, по определению

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если же указанный предел не существует или он бесконечен,то говорят, что интеграл  dx расходится.

Аналогичноопределяется несобственный и нтеграл на промежутке (-∞; b]:

Несобственный интеграл с двумя бесконечны ми пределами определяется формулой

 где с — произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция ƒ (х) ≥ 0 на промежутке [а; +∞) и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 172).

 

Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1)  2) 3)

Решение:

1) интеграл сходится;

2) интеграл расходится, так как при а →-∞ предел не существует.

3) интеграл расходится.

 

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.

Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.

 

Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а; +∞) непрерывные функции ƒ(х) и φ(х) удовлетворяют условию 0 ≤ ƒ(х) ≤φ(х), то из сходимости

интеграла следует сходимость интеграла а из расходимо-

сти интеграла  следует расходимость интеграла

Пример 40.2. Сходится ли интеграл

Решение: При х ≥ 1 имеем Но интеграл сходится. Следовательно, интеграл также сходится (и его значение меньше 1).

 

Теорема 40.2. Если существует предел и φ(х) > 0), то интегралы одновременно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

Пример 40.3. Исследовать сходимость интеграла

Решение: Интеграл сходится, так как интеграл  сходится и

 

40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел  то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают 

Таким образом,поопределению,

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен,то говорят, что интеграл   расходится.

А налогично,если функция ƒ (х) терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают

Если функция ƒ(х) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

В этом случае интеграл слева называют сходящимся,  если оба несобственныхинтеграла, стоящих справа, сходятся. В случае, когда ƒ(х) > 0, несобственный интеграл второго рода    (разрыв в точке х = b) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 173).

 

Пример 40.4. Вычислить

Решение: При х = 0 функция   терпит бесконечный разрыв;

интеграл расходится.

 

Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.

 

Теорема 40.3. Пусть на промежутке [а; b) функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны, при х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0 ≤ ƒ(х) ≤ φ(x).

Из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла а из расходимости интеграла вытекает расходимость интеграла

 

Теорема 40.4. Пусть функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны на промежутке [а; b) и в точке х = b терпят разрыв. Если существует предел то интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся.

 

Пример 40.5. Сходится ли интеграл

Решение: Функция имеет на [0; 1] единственный разрыв в точке х = 0. Рассмотрим функцию , Интеграл

расходится. И так как

то интеграл также расходится.