Билет 18. Понятие функции n переменных и её предельное значение.

Если каждой точке из подмножества m-мерного пр-ва ставится в соответствие число по известному закону, то говорят, что на этом подмн-ве задана функция. Это подможество – область задания. Число, соответствующее данной точке – частное значение функции в точке. Совокупность частных значений – мн-во значений.

Определение по Гейне: Число(1) называется пределом функции в точке (2) (предельным значением), если для любой пос-ти точек, сходящихся к (2) значения в этих точках сходятся к (1).

Определение по Коши: число (1) называется пределом функции в точке (2), если для любой эпс ок-ти (1) найдется такая дельта окр-ть (2), что для любой точке, принадлежащей области определения и этой дельта окрестности, значение будет принадлежать эпс ок-ти (1).

Доказать эквивалентность.

Число (1) называется пределом функции на бесконечности, если для любого положительного числа (2) найдется такое положительное число (3), что для любой точки, удаленной от начала координат более чем на (3), значение функции отличается от (1) не более чем на (2).

Предел суммы, разности, произведения, частного равен сумме, разности, произведению и частному пределов (рассмотреть по Гейне).

Будем говорить, что функция удовлетворяет условию Коши в точке (1), если для любого положительного эпс, для любых двух точек из области задания принадлежащий дельта окрестности (1), справедливо, что расстояние между ними меньше эпс.

Критерий Коши для того, чтобы функция имела в точке конечный предел необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши в этой точке (необходимость берем эпс/2, достаточность по Гейне любая пос-ть фундаментальна, рассматриваем от противного две пос-ти к разным пределам, рассматриваем объединенную пос-ть, она тоже фундаментальна, если пос-ть сх-ся – любая под-сь сходится к тому же пределу).

Арифметические операции над функциями – арифметические операции над пределами (по Гейне).

Билет 19. Непрерывность функции n переменных. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Функция называется непрерывной в точке, если функция имеет в этой точке предел и этот предел равен частному значению. Дать по Гейне и по Коши. Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого мн-ва. Полным приращением в точке A называется k = f(M) – f(A), где M – любая точка из области задания.

У1 Для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы её приращение было бесконечно малой функцией в этой точке, те lim (M, A) k = 0. Это условие – разностная форма условия непрерывности.

Частное приращение – приращение, в котором все аргументы, кроме одного равны 0. Функция называется непрерывной по переменной, если частное приращение по этой переменной – бесконечно малая функция при стремлении к точке. Функция непрерывна в точке на прямой, проходящей через эту точку, если для любой последовательности точек, принадлежащих данной прямой, сходящихся к данной точке, последовательность значений сходится к значению в данной точке.

Св-ва непрерывных функций нескольких переменных:

Т1 Арифметические операции над непрерывными функциями дают непрерывные функции.

Если заданы множество из m функций x1, x2,… xM k переменных, и по этим функциям всем точкам в соответствие ставится новая точка N(x1, …xM), и на полученном мн-ве точек {N} определяется функция u, то говорят, что задана сложная функция k переменных.

Т2 Пусть функции x непрерывны в точке A, а функция u непрерывна в B(b1,…bm), где b1 = x1(t1,..tk),…bm = xm(t1,…,tk), то сложная функция непрерывна в A (по Гейне).

Т3 Если функция определена и непрерывна в окрестности точки, значение в которой отлично от 0, то найдется такая её окрестность, что значение в ней тоже отлично от 0 (из определения).

Т4 Если функция непрерывна во всех точках связного мн-ва, выбираем любое число между значениями в двух выбранных точках, тогда на любой непрерывной кривой, соединяющей эти точки найдется точка, значение в которой равно выбранному числу (описываем уравнение кривой через параметр, сложная функция непрерывна (Т2Б19), и представляет собой непрерывную функцию одной переменной).

Т5 1 теорема Вейерштрасса: если функция непрерывная на замкнутом мн-ве – она ограничена на этом мн-ве (от противного – строим последовательность точек, принадлежащих данному мн-ву, последовательно выбирая все большие числа, больше которых есть, в образованной пос-ти (ТБВБ17) можно выделить сходящуюся, предел пос-ти замкнутого мн-ва сходится к точке в этом мн-ве, а каждое следующее значение больше в выбранной пос-ти больше предыдущего).

Т6 2 теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на замкнутом мн-ве, то она достигает своих точных граней (функция ограничена по Т5Б19, рассматриваем функцию (по арифм операциям она тоже будет непрерывна) 1/(max – f), применяем Т5Б19, противоречие с определением точной грани).

Функция называется равномерно непрерывной, если для любого положительного эпс существует такое дельта, что если для любых двух точек расстояние между ними меньше дельта, то разница их значений меньше эпс.

Т7 Непрерывная на замкнутом ограниченном мн-ве функция равномерно непрерывна на нем (дельта 1/n, от противного рассмотреть пос-ть точек, расстояние меньше дельта, разность значений больше эпс, точки принадлежат замкнутому мн-ву, строим последовательность. сходится, по т БВ предел принадлежит мн-ву, в этой точке непрерывна – для любого эпс найдется дельта).